Cho đường tròn\(\left( O \right)\)đường kính AB và điểm C thuộc đường tròn sao cho \(AC < BC\)

Câu hỏi số 676801:

Vận dụng

Cho đường tròn\(\left( O \right)\)đường kính AB và điểm C thuộc đường tròn sao cho \(AC < BC\) (C khác A). Vẽ CH vuông góc với \(AB\,\,\left( {H \in AB} \right).\)

a) Chứng minh \(\Delta \,ABC\) là tam giác vuông. Tính AC, biết AB = 4 cm, AH = 1 cm.

b) Trên tia đối của tia CA lấy điểm D sao cho \(CD = CA.\) Vẽ DE vuông góc với \(AB\,\,\left( {E \in AB} \right).\) Chứng minh BECD là tứ giác nội tiếp.

c) Gọi I là giao điểm của DE và BC, K là điểm đối xứng của I qua C, tiếp tuyến của tại C cắt KA tại M. Chứng minh KA là tiếp tuyến của \(\left( O \right)\)và đi qua trung điểm của CH.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:676801

Phương pháp giải

a) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông để tính AC.

b) Tứ giác có hai đỉnh kề cùng nhìn một cạnh dưới một góc bằng nhau thì là tứ giác nội tiếp.

c) Chứng minh \(BM\) đi qua trung điểm của \(CH\) từ đó gọi \(U\) là giao điểm của \(CH\) và \(MB\), ta chứng minh \(MK = AM\) \( \Rightarrow CU = HU\) và kết luận.

Giải chi tiết

a) Xét đường tròn (O) có \(\angle {ACB}\) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn

\( \Rightarrow \)\(\angle {ACB}\) = 90⁰ hay \(\Delta ABC\) vuông tại C

\(\Delta ABC\) vuông tại \(C\) có \(CH\) là đường cao

\( \Rightarrow \)\(A{C^2} = AH.AB = 1.4 = 4\) (Hệ thức lượng trong tam giác vuông)

\( \Rightarrow AC = 2cm\)

b) Xét tứ giác \(BECD\) có \(\angle {DCB} = \angle {DEB} = {90^0}\)

\( \Rightarrow \) Hai đỉnh \(C\) và \(E\) kề nhau cùng nhìn cạnh \(DB\) dưới 1 góc \({90^0}\)

Nên tứ giác \(BECD\) nội tiếp

c) Tứ giác \(AKDI\) có \(CK = CI\) (\(K\) là điểm đối xứng của \(I\)qua \(C\)) và \(CA = CD\)

\( \Rightarrow \) Tứ giác \(AKDI\) là hình bình hành (hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường)

\( \Rightarrow \) \(AK\) // \(DI\) mà \(DI \bot AO\) tại \(E\)

\( \Rightarrow \) \(AK \bot AO\) tại \(A\)

Mà \(AO\) là bán kính của đường tròn \(\left( O \right)\) nên \(AK\) là tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right)\) tại \(A\).

Đường tròn \(\left( O \right)\)có \(MA,MC\) là 2 tiếp tuyến cắt nhau \( \Rightarrow \) \(MA = MC\) \(\left( 1 \right)\)

\( \Rightarrow \)\(\Delta MAC\) cân tại \(M\) \( \Rightarrow \) \(\angle {MAC} = \angle {MCA}\)

Mà \(\angle {KCM} + \angle {MCA} = {90^0}\) nên \(\angle {KCM} + \angle {MAC} = {90^0}\)

Mà \(\angle {MKC} + \angle {MAC} = {90^0}\) (\(\Delta AKC\) vuông tại \(C\)) nên \(\angle {KCM} = \angle {MKC}\)

\( \Rightarrow \)\(\Delta KMC\) cân tại \(M\) \( \Rightarrow \)\(MC = MK\) \(\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right)\)và \(\left( 2 \right)\) \( \Rightarrow \) \(MA = MK\) hay \(BM\) đi qua trung điểm của \(CH\).

Gọi \(U\) là giao điểm của \(CH\) và \(MB\).

\(AK\) // \(CH\) (cùng \( \bot \) \(AB\))

\(MK\) // \(CU\)\( \Rightarrow \dfrac{{CU}}{{MK}} = \dfrac{{BU}}{{BM}}\)(Hệ quả định lý Talet) \(\left( 3 \right)\)

\(MA\)// \(UH\) \( \Rightarrow \dfrac{{HU}}{{AM}} = \dfrac{{BU}}{{BM}}\)(Hệ quả định lý Talet) \(\left( 4 \right)\)

Từ \(\left( 3 \right)\), \(\left( 4 \right)\) và \(MK = AM\) \( \Rightarrow CU = HU\) hay \(U\)là trung điểm của \(CH\)

Vậy \(BM\) đi qua trung điểm của \(CH\)

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link