Cho tam giác \(ABC(AB > BC)\) có ba góc nhọn, nội tiếp đường tròn \(\left( O \right)\). Vẽ các

Câu hỏi số 679985:

Vận dụng cao

Cho tam giác \(ABC(AB > BC)\) có ba góc nhọn, nội tiếp đường tròn \(\left( O \right)\). Vẽ các đường cao \(AD,BE\) và \(CF\) của tam giác \(ABC\). Gọi điểm \(H\) là trực tâm của tam giác \(ABC,I\) là trung điểm của đoạn thẳng \(DF\). Tia \(AI\) cắt đường tròn \(\left( O \right)\) tại \(K\left( {K \ne A} \right)\), tia \(BE\) cắt đường tròn \(\left( O \right)\) tại \(J\left( {J \ne B} \right)\). Chứng minh rằng:
a. E là trung điểm của đoạn thẳng \(HJ\);
b. Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(IKD\) nằm trên đường thẳng \(BC\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:679985

Giải chi tiết

a. Ta có: \(\angle {EAH} = \angle {CAD} = \angle {CBE}\) (cùng phụ với \(\angle {ACB}\) ).

Mặt khác \(\angle {CBE} = \angle {JBC} = \angle {JAE} = \angle {JAC}\) (góc nội tiếp cùng chắn cung \(CJ\) ). Suy ra \(\angle {EAH} = \angle {EAJ}\).
Tam giác \(AHJ\) có \(AE\) vừa là đường cao, vừa là đường phân giác trong kẻ từ đỉnh \(A\) nên tam giác \(AHJ\) cân tại \(A\). Suy ra \(AE\) là đường trung tuyến kẻ từ \(A\). Do đó \(E\) là trung điểm của đoạn thẳng \(HJ\).

b. Ta có các tứ giác \(ACDF,CDHE\) nội tiếp nên \(\angle {HDE} = \angle {HCE} = \angle {FCA} = \angle {FDA}\) (1).

Đồng thời \(\angle {HED} = \angle {HCD} = \angle {FCD} = \angle {FAD}\).
Từ (1) và (2) suy ra \(\Delta DHE\) đồng dạng với \(\Delta DFA\) (g.g) \( \Rightarrow \dfrac{{HD}}{{FD}} = \dfrac{{HE}}{{FA}}\)
Mặt khác \(E\) là trung điểm của \(HJ\) (chứng minh trên) và \(I\) là trung điểm của \(FD\), kết hợp với (3) ta có \(\dfrac{{2HD}}{{FD}} = \dfrac{{2HE}}{{FA}} \Leftrightarrow \dfrac{{HD}}{{FI}} = \dfrac{{HJ}}{{FA}}\).
Xét \(\Delta HDJ\) và \(\Delta FIA\) có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\dfrac{{HD}}{{FI}} = \dfrac{{HJ}}{{FA}}}\\{\angle {AFI} = \angle {JHD}}\end{array}} \right.\)
Suy ra \(\Delta HDJ\) đồng dạng với \(\Delta FLA\)
\( \Rightarrow \angle {HJD} = \angle {FAI}\)
Mà \(\angle {FAI} = \angle {BAK} = \angle {BJK}\) nên \(\angle {HJD} = \angle {BJD} = \angle {BJK} \Rightarrow J,D,K\) thẳng hàng.
Từ đó \(\angle {IKD} = \angle {AKJ} = \angle {ABJ} = \angle {FBH} = \angle {HDF} = \angle {HDI}\).
Suy ra \(AD\) là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác \(IKD\).
Mặt khác \(AD \bot BC\) nên tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(IKD\) nằm trên đường thẳng \(BC\).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link