a) Cho các số thực x,y khác 0, thoả mãn: \(\dfrac{x}{y} + \dfrac{y}{x} = 3\) và \(\dfrac{{{x^2}}}{y} +

Câu hỏi số 680378:

Vận dụng cao

a) Cho các số thực x,y khác 0, thoả mãn: \(\dfrac{x}{y} + \dfrac{y}{x} = 3\) và \(\dfrac{{{x^2}}}{y} + \dfrac{{{y^2}}}{x} = 10\).

Chứng minh \(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = 1\)

b) Cho đa thức bậc 3 \(P\left( x \right)\)thoả mãn khi chia \(P\left( x \right)\) cho \(x - 1,x - 2,x - 3\) đều được số dư là 6 và

\(P\left( { - 1} \right) = - 18\). Tìm đa thức \(P\left( x \right)\)

c) Cho các số thực không âm a,b,c thoả mãn đồng thời các điều kiện: \(\sqrt a + \sqrt b + \sqrt c \;\)= 8; \(a + b + c = 26;abc = 144\). Tính giá trị biểu thức: P = \(\dfrac{1}{{\sqrt {bc} - \sqrt a + 9}} + \dfrac{1}{{\sqrt {ca} - \sqrt b + 9}} + \dfrac{1}{{\sqrt {ab} - \sqrt c + 9}}\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:680378

Phương pháp giải

a) Từ giả thiết tìm \(x + y\) và \(xy\).

b) Áp dụng định lý Bezout.

c) Đặt \(\left( {\sqrt a ,\sqrt b ,\sqrt c } \right) = \left( {x,y,z} \right)\) và thực hiện tính.

Giải chi tiết

a) Từ giả thiết ta có

\(\begin{array}{l}\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} + {y^2} = 3xy}\\{{x^3} + {y^3} = 10xy}\end{array}} \right. \Rightarrow \left( {x + y} \right)\left( {{x^2} + {y^2}} \right) = 3xy\left( {x + y} \right) \Rightarrow {x^3} + {y^3} + xy\left( {x + y} \right) = 3xy\left( {x + y} \right)\\{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \Leftrightarrow 10xy = 2xy\left( {x + y} \right) \Leftrightarrow x + y = 5\left( {x,y \ne 0} \right)\end{array}\)

Ta có \({\left( {x + y} \right)^2} = {x^2} + {y^2} + 2xy = 5xy \Rightarrow xy = 5 \Rightarrow \dfrac{{x + y}}{{xy}} = \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = 1\) (đpcm)

b) Theo định lý Bezout: \(P\left( x \right) - 6 = S\left( x \right)\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right)\)

Do P bậc 3 \( \Rightarrow S\left( x \right) = a\). và \(P\left( { - 1} \right) = a\left( { - 2} \right)\left( { - 3} \right)\left( { - 4} \right) + 6 = - 18 \Rightarrow a = 1\)

Suy ra \(P\left( x \right) = \left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right) + 6 = {x^3} - 6{x^2} + 11x\)

Thử lại ta thấy đúng.

Vậy \(P\left( x \right) = {x^3} - 6{x^2} + 11x\)

c) Đặt \(\left( {\sqrt a ,\sqrt b ,\sqrt c } \right) = \left( {x,y,z} \right)\) điều kiện: \(x,y,z \ge 0\)

\( \Rightarrow x + y + z = 8;{x^2} + {y^2} + {z^2} = 26;{x^2}{y^2}{z^2} = 144\)

\( \Rightarrow x + y + z = 8;xy + yz + zx = \dfrac{{{{\left( {x + y + z} \right)}^2} - \left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right)}}{2} = 19;xyz = 12\) (Do \(x,y,z \ge 0\))

Ta có: \(P = \dfrac{1}{{yz - x + 9}} + \dfrac{1}{{xz - y + 9}} + \dfrac{1}{{xy - z + 9}}\)

Ta có: \(yz - x + 9 = yz - x + x + y + z + 1 = \left( {z + 1} \right)\left( {y + 1} \right)\)

Tương tự: \(xz - y + 9 = \left( {x + 1} \right)\left( {z + 1} \right);xy - z + 9 = \left( {x + 1} \right)\left( {y + 1} \right)\)

\( \Rightarrow \dfrac{{x + 1 + y + 1 + z + 1}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {y + 1} \right)\left( {z + 1} \right)}} = \)\(\dfrac{{x + y + z + 3}}{{xyz + x + y + z + xy + yz + xz + 1}}\) = \(\dfrac{{11}}{{12 + 19 + 8 + 1}}\) = \(\dfrac{{11}}{{40}}\)

Vậy P = \(\dfrac{{11}}{{40}}\)

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link