a) Cho các số thực x,y khác 0, thoả mãn: \(\dfrac{x}{y} + \dfrac{y}{x} = 3\) và \(\dfrac{{{x^2}}}{y} +

Câu hỏi số 680378:

Vận dụng cao

a) Cho các số thực x,y khác 0, thoả mãn: \(\dfrac{x}{y} + \dfrac{y}{x} = 3\) và \(\dfrac{{{x^2}}}{y} + \dfrac{{{y^2}}}{x} = 10\).

Chứng minh \(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = 1\)

b) Cho đa thức bậc 3 \(P\left( x \right)\)thoả mãn khi chia \(P\left( x \right)\) cho \(x - 1,x - 2,x - 3\) đều được số dư là 6 và

\(P\left( { - 1} \right) = - 18\). Tìm đa thức \(P\left( x \right)\)

c) Cho các số thực không âm a,b,c thoả mãn đồng thời các điều kiện: \(\sqrt a + \sqrt b + \sqrt c \;\)= 8; \(a + b + c = 26;abc = 144\). Tính giá trị biểu thức: P = \(\dfrac{1}{{\sqrt {bc} - \sqrt a + 9}} + \dfrac{1}{{\sqrt {ca} - \sqrt b + 9}} + \dfrac{1}{{\sqrt {ab} - \sqrt c + 9}}\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:680378

Phương pháp giải

a) Từ giả thiết tìm \(x + y\) và \(xy\).

b) Áp dụng định lý Bezout.

c) Đặt \(\left( {\sqrt a ,\sqrt b ,\sqrt c } \right) = \left( {x,y,z} \right)\) và thực hiện tính.

Giải chi tiết

a) Từ giả thiết ta có

\(\begin{array}{l}\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} + {y^2} = 3xy}\\{{x^3} + {y^3} = 10xy}\end{array}} \right. \Rightarrow \left( {x + y} \right)\left( {{x^2} + {y^2}} \right) = 3xy\left( {x + y} \right) \Rightarrow {x^3} + {y^3} + xy\left( {x + y} \right) = 3xy\left( {x + y} \right)\\{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \Leftrightarrow 10xy = 2xy\left( {x + y} \right) \Leftrightarrow x + y = 5\left( {x,y \ne 0} \right)\end{array}\)

Ta có \({\left( {x + y} \right)^2} = {x^2} + {y^2} + 2xy = 5xy \Rightarrow xy = 5 \Rightarrow \dfrac{{x + y}}{{xy}} = \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = 1\) (đpcm)

b) Theo định lý Bezout: \(P\left( x \right) - 6 = S\left( x \right)\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right)\)

Do P bậc 3 \( \Rightarrow S\left( x \right) = a\). và \(P\left( { - 1} \right) = a\left( { - 2} \right)\left( { - 3} \right)\left( { - 4} \right) + 6 = - 18 \Rightarrow a = 1\)

Suy ra \(P\left( x \right) = \left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right) + 6 = {x^3} - 6{x^2} + 11x\)

Thử lại ta thấy đúng.

Vậy \(P\left( x \right) = {x^3} - 6{x^2} + 11x\)

c) Đặt \(\left( {\sqrt a ,\sqrt b ,\sqrt c } \right) = \left( {x,y,z} \right)\) điều kiện: \(x,y,z \ge 0\)

\( \Rightarrow x + y + z = 8;{x^2} + {y^2} + {z^2} = 26;{x^2}{y^2}{z^2} = 144\)

\( \Rightarrow x + y + z = 8;xy + yz + zx = \dfrac{{{{\left( {x + y + z} \right)}^2} - \left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right)}}{2} = 19;xyz = 12\) (Do \(x,y,z \ge 0\))

Ta có: \(P = \dfrac{1}{{yz - x + 9}} + \dfrac{1}{{xz - y + 9}} + \dfrac{1}{{xy - z + 9}}\)

Ta có: \(yz - x + 9 = yz - x + x + y + z + 1 = \left( {z + 1} \right)\left( {y + 1} \right)\)

Tương tự: \(xz - y + 9 = \left( {x + 1} \right)\left( {z + 1} \right);xy - z + 9 = \left( {x + 1} \right)\left( {y + 1} \right)\)

\( \Rightarrow \dfrac{{x + 1 + y + 1 + z + 1}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {y + 1} \right)\left( {z + 1} \right)}} = \)\(\dfrac{{x + y + z + 3}}{{xyz + x + y + z + xy + yz + xz + 1}}\) = \(\dfrac{{11}}{{12 + 19 + 8 + 1}}\) = \(\dfrac{{11}}{{40}}\)

Vậy P = \(\dfrac{{11}}{{40}}\)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link