1) Giải phương trình \(3{x^3} - 7{x^2} + 6x + 4 = 3\sqrt[3]{{\dfrac{{16{x^2} + 6x + 2}}{3}}}\)2) Giải hệ

Câu hỏi số 680684:

Vận dụng cao

1) Giải phương trình \(3{x^3} - 7{x^2} + 6x + 4 = 3\sqrt[3]{{\dfrac{{16{x^2} + 6x + 2}}{3}}}\)

2) Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} + x + y = 8\\2{x^2} + {y^2} - 3xy + 3x - 2y + 1 = 0\end{array} \right.\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:680684

Phương pháp giải

1) Đặt \(y = \sqrt[3]{{\dfrac{{16{x^2} + 6x + 2}}{3}}}\), từ đó ta suy ra hệ phương trình và giải theo phương pháp cộng đại số.

2) Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế (ta giải phương trình (2) và thế vào phương trình (1)).

Giải chi tiết

1) Đặt \(y = \sqrt[3]{{\dfrac{{16{x^2} + 6x + 2}}{3}}}\). Ta có hệ \(\left\{ \begin{array}{l}{y^3} = \dfrac{{16{x^2} + 6x + 2}}{3}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\y = \dfrac{{3{x^3} - 7{x^2} + 6x + 4}}{3}\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

Cộng từng vế (1) với (2) ta được \({y^3} + y = {x^3} + 3{x^2} + 4x + 2\)

\( \Leftrightarrow {y^3} + y = {\left( {x + 1} \right)^3} + \left( {x + 1} \right)\,\,\,\left( 3 \right)\)

Đặt \(a = x + 1.\) Từ (3) có \({y^3} + y = {a^3} + a \Leftrightarrow \left( {a - y} \right)\left( {{a^2} + ay + {y^2} + 1} \right) = 0\)

Do \({a^2} + ay + {y^2} + 1 = {\left( {a + \dfrac{a}{y}} \right)^2} + \dfrac{{3{y^2}}}{4} + 1 > 0\) nên \(y = a\) hay \(y = x + 1\)

Thay vào phương trình (2) ta được

\(3{x^3} - 7{x^2} + 3x + 1 = 0 \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {3{x^2} - 4x - 1} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 1 = 0\\3{x^2} - 4x - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = \dfrac{{2 \pm \sqrt 7 }}{3}\end{array} \right.\).

Vậy phương trình đã cho có nghiệm \(x = 1;x = \dfrac{{2 \pm \sqrt 7 }}{3}\).

2) Ta có: \(\left( 2 \right) \Leftrightarrow \left( {2{x^2} - 2xy} \right) - \left( {xy - {y^2}} \right) + \left( {x - y} \right) + \left( {2x - y} \right) + 1 = 0\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {2x - y + 1} \right)\left( {x - y + 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x - y + 1 = 0\\x - y + 1 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y = 2x + 1\\y = x + 1\end{array} \right.\end{array}\)

Thay \(y = 2x + 1\) vào (1) ta được: \({x^2} + {\left( {2x + 1} \right)^2} + x + 2x + 1 = 8 \Leftrightarrow 5{x^2} + 7x - 6 = 0\,\,\,\left( 3 \right)\)

\(\Delta = 169 > 0\)

Phương trình (3) có hai nghiệm phân biệt \(\left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{3}{5}\\x = - 2\end{array} \right.\)

Với \(x = \dfrac{3}{5} \Rightarrow y = \dfrac{{11}}{5}\)

Với \(x = - 2 \Rightarrow y = - 3\)

Thay \(y = x + 1\) vào (1) ta được:

\({x^2} + {\left( {x + 1} \right)^2} + x + x + 1 = 8 \Leftrightarrow 2{x^2} + 4x - 6 = 0\,\,\,\left( 4 \right)\)

Vì \(2 + 4 + \left( { - 6} \right) = 0\) nên phương trình (4) có hai nghiệm phân biệt \(x = 1;x = - 3\)

Với \(x = 1 \Rightarrow y = 2\)

Với \(x = - 3 \Rightarrow y = - 2\)

Vậy nghiệm \(\left( {x;y} \right)\) của hệ phương trình đã cho là: \(\left( {\dfrac{3}{5};\dfrac{{11}}{5}} \right);\left( { - 2; - 3} \right);\left( {1;2} \right);\left( { - 3; - 2} \right)\)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link