1) Giải phương trình \(3{x^3} - 7{x^2} + 6x + 4 = 3\sqrt[3]{{\dfrac{{16{x^2} + 6x + 2}}{3}}}\)2) Giải hệ

Câu hỏi số 680684:

Vận dụng cao

1) Giải phương trình \(3{x^3} - 7{x^2} + 6x + 4 = 3\sqrt[3]{{\dfrac{{16{x^2} + 6x + 2}}{3}}}\)

2) Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} + x + y = 8\\2{x^2} + {y^2} - 3xy + 3x - 2y + 1 = 0\end{array} \right.\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:680684

Phương pháp giải

1) Đặt \(y = \sqrt[3]{{\dfrac{{16{x^2} + 6x + 2}}{3}}}\), từ đó ta suy ra hệ phương trình và giải theo phương pháp cộng đại số.

2) Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế (ta giải phương trình (2) và thế vào phương trình (1)).

Giải chi tiết

1) Đặt \(y = \sqrt[3]{{\dfrac{{16{x^2} + 6x + 2}}{3}}}\). Ta có hệ \(\left\{ \begin{array}{l}{y^3} = \dfrac{{16{x^2} + 6x + 2}}{3}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\y = \dfrac{{3{x^3} - 7{x^2} + 6x + 4}}{3}\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

Cộng từng vế (1) với (2) ta được \({y^3} + y = {x^3} + 3{x^2} + 4x + 2\)

\( \Leftrightarrow {y^3} + y = {\left( {x + 1} \right)^3} + \left( {x + 1} \right)\,\,\,\left( 3 \right)\)

Đặt \(a = x + 1.\) Từ (3) có \({y^3} + y = {a^3} + a \Leftrightarrow \left( {a - y} \right)\left( {{a^2} + ay + {y^2} + 1} \right) = 0\)

Do \({a^2} + ay + {y^2} + 1 = {\left( {a + \dfrac{a}{y}} \right)^2} + \dfrac{{3{y^2}}}{4} + 1 > 0\) nên \(y = a\) hay \(y = x + 1\)

Thay vào phương trình (2) ta được

\(3{x^3} - 7{x^2} + 3x + 1 = 0 \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {3{x^2} - 4x - 1} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 1 = 0\\3{x^2} - 4x - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = \dfrac{{2 \pm \sqrt 7 }}{3}\end{array} \right.\).

Vậy phương trình đã cho có nghiệm \(x = 1;x = \dfrac{{2 \pm \sqrt 7 }}{3}\).

2) Ta có: \(\left( 2 \right) \Leftrightarrow \left( {2{x^2} - 2xy} \right) - \left( {xy - {y^2}} \right) + \left( {x - y} \right) + \left( {2x - y} \right) + 1 = 0\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {2x - y + 1} \right)\left( {x - y + 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x - y + 1 = 0\\x - y + 1 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y = 2x + 1\\y = x + 1\end{array} \right.\end{array}\)

Thay \(y = 2x + 1\) vào (1) ta được: \({x^2} + {\left( {2x + 1} \right)^2} + x + 2x + 1 = 8 \Leftrightarrow 5{x^2} + 7x - 6 = 0\,\,\,\left( 3 \right)\)

\(\Delta = 169 > 0\)

Phương trình (3) có hai nghiệm phân biệt \(\left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{3}{5}\\x = - 2\end{array} \right.\)

Với \(x = \dfrac{3}{5} \Rightarrow y = \dfrac{{11}}{5}\)

Với \(x = - 2 \Rightarrow y = - 3\)

Thay \(y = x + 1\) vào (1) ta được:

\({x^2} + {\left( {x + 1} \right)^2} + x + x + 1 = 8 \Leftrightarrow 2{x^2} + 4x - 6 = 0\,\,\,\left( 4 \right)\)

Vì \(2 + 4 + \left( { - 6} \right) = 0\) nên phương trình (4) có hai nghiệm phân biệt \(x = 1;x = - 3\)

Với \(x = 1 \Rightarrow y = 2\)

Với \(x = - 3 \Rightarrow y = - 2\)

Vậy nghiệm \(\left( {x;y} \right)\) của hệ phương trình đã cho là: \(\left( {\dfrac{3}{5};\dfrac{{11}}{5}} \right);\left( { - 2; - 3} \right);\left( {1;2} \right);\left( { - 3; - 2} \right)\)

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link