a) Cho \(x,\,y\) là các số nguyên dương thỏa mãn \({x^2} - y\) và \({x^2} + y\) đều là các số chính

Câu hỏi số 681111:

Vận dụng cao

a) Cho \(x,\,y\) là các số nguyên dương thỏa mãn \({x^2} - y\) và \({x^2} + y\) đều là các số chính phương. Chứng minh \(y\) là số chẵn.

b) Tìm các số nguyên dương \(a,\,b\) thỏa mãn \({a^3} - 2{(a + b)^2} = {b^3} + 19\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:681111

Phương pháp giải

a) Ta xét hai trường hợp: \(A,B\) cùng chẵn, \(A,B\) cùng lẻ.

b) Đặt \(u = a + b,v = a - b\) khi đó \(2a = u + v,2b = u - v\).

Giải chi tiết

a) Theo điều kiện đề bài, tồn tại các số nguyên \(A,B\) sao cho: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} - y = {A^2}}\\{{x^2} + y = {B^2}}\end{array}} \right.\)

Suy ra \({B^2} - {A^2} = 2y\) và ta có \(A,B\) cùng tính chẵn lẻ.
Xét hai trường hợp:
(a) \(A,B\) cùng chẵn.
Khi đó \({A^2},{B^2}\) cùng chia hết cho 4 và do đó nên \(2y = {B^2} - {A^2}\) chia hết cho 4 . Do đó nên \(y\) chẵn.
(b) \(A,B\) cùng lẻ.
Khi đó \({A^2} \equiv {B^2} \equiv 1\left( {{\rm{mod}}4} \right)\) và do đó nên \(2y = {B^2} - {A^2}\) chia hết cho 4. Do đó nên \(y\) chẵn.

Như vậy ta luôn có \(y\) chẵn.

b) Đặt \(u = a + b,v = a - b\).
Khi đó \(2a = u + v,2b = u - v\) và phương trình (4) trở thành:

\(\begin{array}{*{20}{r}}{{{(u + v)}^3} - 16{u^2} = }&{{{(u - v)}^3} + 8.19 \Leftrightarrow 2{v^3} + 6v{u^2} - 16{u^2} = 8.19}\\{}&{ \Leftrightarrow {v^3} + {u^2}\left( {3v - 8} \right) = 4.19}\\{}&{\; \Leftrightarrow {v^3} - 4.19 = {u^2}\left( {8 - 3v} \right)}\end{array}\)

Từ (5) ta có: \(\left( {{v^3} - 4.19} \right)\left( {8 - 3v} \right) \ge 0\)

Nhận thấy rằng nếu \(v \ge 5\) thì \(8 - 3v < 0,{v^3} - 4.19 > 0\)
Do đó nên \(\left( {8 - 3v} \right)\left( {{v^3} - 4.19} \right) < 0\) và ta có điều vô lý.
Còn nếu \(v \le 2\) thì ta có \(8 - 3v > 0,{v^3} - 4.19 < 0\).
Do đó nên \(\left( {8 - 3v} \right)\left( {{v^3} - 4.19} \right) < 0\) và ta có điều vô lý.
Suy ra \(v \in \left\{ {3;4} \right\}\).
Nếu \(v = 3\) thì thay vào (5) ta có: \({u^2} = 49 \Rightarrow u = 7\)

Khi đó \(a = 5,b = 2\).
Nếu \(v = 4\) thì thay vào (5) ta có: \({u^2} = 3 \Rightarrow \) không thỏa mãn điều kiện.

Vậy nên \(\left( {a,b} \right) = \left( {5,2} \right)\) là tất cả các cặp số thoả mãn đề bài.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link