a) Chứng minh đa thức \(p\left( x \right)\) có ít nhất hai nghiệm phân biệt, biết \(xp\left( {x + 1}

Câu hỏi số 681397:

Vận dụng cao

a) Chứng minh đa thức \(p\left( x \right)\) có ít nhất hai nghiệm phân biệt, biết \(xp\left( {x + 1} \right) = \left( {x - 2} \right)p\left( x \right)\).
b) Cho số nguyên dương \(n\) thỏa mãn \(n + 4\) và \(2n + 7\) là các số chính phương. Chứng minh rằng \(2023n + 69\) chia hết cho 24 .

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:681397

Giải chi tiết

a) Ta có: \(p\left( 0 \right) = 0\) và \(p\left( 3 \right) = 0\).
Từ đó suy ra \(p\left( x \right)\) có ít nhất hai nghiệm \(x = 0\) và \(x = 3\).
b) Đặt \({a^2} = n + 4\) và \({b^2} = 2n + 7\) với \(a,b \in \mathbb{N}\).
Có \(2n + 7\) lẻ nên \({b^2} = 2n + 7\) là số chính phương lẻ.
Do đó \(2\left( {n + 3} \right) = {b^2} - 1 \equiv 0\left( {{\rm{mod}}8} \right) \Rightarrow n + 3\) chẵn \( \Rightarrow n\) lẻ
\( \Rightarrow {a^2} = n + 4\) là số chính phương lẻ \( \Rightarrow n + 3 = {a^2} - 1:8\)
Mặt khác \({a^2} + {b^2} = 3n + 11 \equiv 2\left( {{\rm{mod}}3} \right) \Rightarrow {a^2} \equiv {b^2} \equiv 1\left( {{\rm{mod}}3} \right)\)

\( \Rightarrow {b^2} - {a^2} = n + 3 \equiv 0\left( {{\rm{mod}}3} \right) \Rightarrow n + 3 \vdots 3\)

Từ đó suy ra \(n + 3:24 \Rightarrow 2023n + 69 = 2016n + 48 + 7\left( {n + 3} \right) \vdots 24\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K12 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 7 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 7 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link