Cho hình vuông \(ABCD\) có cạnh bằng 4cm. Trên các cạnh \(AB,\,\,BC,\,\,CD,\,\,DA\) lấy theo thứ tự

Câu hỏi số 681644:

Vận dụng

Cho hình vuông \(ABCD\) có cạnh bằng 4cm. Trên các cạnh \(AB,\,\,BC,\,\,CD,\,\,DA\) lấy theo thứ tự các điểm \(E,\,\,F,\,\,G,\,\,H\) sao cho \(AE = BF = CG = DH\). Tính độ dài \(AE\) sao cho tứ giác \(EFGH\) có chu vi nhỏ nhất.

Giải chi tiết

Xét \(\Delta AHE\) và \(\Delta BEF\) có:

\(\begin{array}{l}AE = BF\\AH = BE\\\angle HAE = \angle EBF = {90^0}\\ \Rightarrow \Delta AHE = \Delta BEF\,\,\left( {c.g.c} \right)\end{array}\)

Chứng minh tương tự ta có \(\Delta AHE = \Delta BEF = \Delta CFG = \Delta DGH\)

\( \Rightarrow HE = EF = FG = GH\)

Vì \(\angle AEH = \angle BFE,\,\,\angle BFE + \angle BEF = {90^0} \Rightarrow \angle AEH + \angle BEF = {90^0} \Rightarrow \angle HEF = {90^0}\)

Do đó \(EFGH\) là hình vuông

Suy ra chu vi \(EFGH\) nhỏ nhất khi \(HE\) nhỏ nhất

Đặt \(AE = x\,\,\left( {x > 0} \right) \Rightarrow AH = BE = 4 - x\)

Xét \(\Delta AHE\) vuông tại \(A\) có \(H{E^2} = A{E^2} + A{H^2} = {x^2} + {\left( {4 - x} \right)^2} = 2{x^2} - 8x + 16 = 2{\left( {x - 2} \right)^2} + 8\)

Ta có: \({\left( {x - 2} \right)^2} \ge 0,\,\,\forall x \in \mathbb{R} \Rightarrow 2{\left( {x - 2} \right)^2} + 8 \ge 8,\,\,\forall x \in \mathbb{R}\)

\( \Rightarrow H{E^2} \ge 8 \Rightarrow HE \ge \sqrt 8 \)

Dấu xảy ra khi và chỉ khi \(x = 2\)

Vậy khi \(AE = 2\left( {cm} \right)\) thì chu vi tứ giác \(EFGH\) nhỏ nhất

Xem lời giải Hỏi đáp / Thảo luận

Câu hỏi:681644

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều). Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.