Cho hình vuông \(ABCD\) có cạnh bằng 4cm. Trên các cạnh \(AB,\,\,BC,\,\,CD,\,\,DA\) lấy theo thứ tự
Cho hình vuông \(ABCD\) có cạnh bằng 4cm. Trên các cạnh \(AB,\,\,BC,\,\,CD,\,\,DA\) lấy theo thứ tự các điểm \(E,\,\,F,\,\,G,\,\,H\) sao cho \(AE = BF = CG = DH\). Tính độ dài \(AE\) sao cho tứ giác \(EFGH\) có chu vi nhỏ nhất.
Quảng cáo
Xét \(\Delta AHE\) và \(\Delta BEF\) có:
\(\begin{array}{l}AE = BF\\AH = BE\\\angle HAE = \angle EBF = {90^0}\\ \Rightarrow \Delta AHE = \Delta BEF\,\,\left( {c.g.c} \right)\end{array}\)
Chứng minh tương tự ta có \(\Delta AHE = \Delta BEF = \Delta CFG = \Delta DGH\)
\( \Rightarrow HE = EF = FG = GH\)
Vì \(\angle AEH = \angle BFE,\,\,\angle BFE + \angle BEF = {90^0} \Rightarrow \angle AEH + \angle BEF = {90^0} \Rightarrow \angle HEF = {90^0}\)
Do đó \(EFGH\) là hình vuông
Suy ra chu vi \(EFGH\) nhỏ nhất khi \(HE\) nhỏ nhất
Đặt \(AE = x\,\,\left( {x > 0} \right) \Rightarrow AH = BE = 4 - x\)
Xét \(\Delta AHE\) vuông tại \(A\) có \(H{E^2} = A{E^2} + A{H^2} = {x^2} + {\left( {4 - x} \right)^2} = 2{x^2} - 8x + 16 = 2{\left( {x - 2} \right)^2} + 8\)
Ta có: \({\left( {x - 2} \right)^2} \ge 0,\,\,\forall x \in \mathbb{R} \Rightarrow 2{\left( {x - 2} \right)^2} + 8 \ge 8,\,\,\forall x \in \mathbb{R}\)
\( \Rightarrow H{E^2} \ge 8 \Rightarrow HE \ge \sqrt 8 \)
Dấu xảy ra khi và chỉ khi \(x = 2\)
Vậy khi \(AE = 2\left( {cm} \right)\) thì chu vi tứ giác \(EFGH\) nhỏ nhất
Tham Gia Group Dành Cho Lớp 8 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí
>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com Học bám sát chương trình SGK mới nhất của Bộ Giáo dục. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
