Cho tam giác nhọn \(ABC\). Từ một điểm \(I\) nằm trong tam giác ta kẻ \(IM \bot BC,\,\,IN \bot AC,\,\,IK
Cho tam giác nhọn \(ABC\). Từ một điểm \(I\) nằm trong tam giác ta kẻ \(IM \bot BC,\,\,IN \bot AC,\,\,IK \bot AB\). Đặt \(AK = x,\,\,BM = y,\,\,CN = z\). Tìm vị trí của \(I\) để tổng \({x^2} + {y^2} + {z^2}\) nhỏ nhất.
Quảng cáo
Đặt \(BK = k,\,\,CM = m,\,\,AN = n,\,\,BC = a,\,\,CA = b,\,\,AB = c\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}{x^2} + {y^2} + {z^2} = \left( {I{A^2} - I{K^2}} \right) + \left( {I{B^2} - I{M^2}} \right) + \left( {I{C^2} - I{N^2}} \right)\\ = \left( {I{A^2} - I{N^2}} \right) + \left( {I{B^2} - I{K^2}} \right) + \left( {I{C^2} - I{M^2}} \right)\\ = A{N^2} + B{K^2} + C{M^2}\\ = {n^2} + {k^2} + {m^2}\end{array}\)
Do đó \(2\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right) = {x^2} + {y^2} + {z^2} + {n^2} + {k^2} + {m^2} = \left( {{x^2} + {k^2}} \right) + \left( {{y^2} + {m^2}} \right) + \left( {{z^2} + {n^2}} \right)\)
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {k^2} \ge \dfrac{{{{\left( {x + k} \right)}^2}}}{2} = \dfrac{{A{B^2}}}{2} = \dfrac{{{c^2}}}{2}\\{y^2} + {m^2} \ge \dfrac{{{{\left( {y + m} \right)}^2}}}{2} = \dfrac{{B{C^2}}}{2} = \dfrac{{{a^2}}}{2}\\{z^2} + {n^2} \ge \dfrac{{{{\left( {z + n} \right)}^2}}}{2} = \dfrac{{A{C^2}}}{2} = \dfrac{{{b^2}}}{2}\end{array} \right.\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} + {k^2} + {m^2} + {n^2} \ge \dfrac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{2}\\ \Rightarrow 2\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right) \ge \dfrac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{2}\\ \Rightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} \ge \dfrac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{4}\end{array}\)
Dấu xảy ra khi và chỉ khi \(x = k,\,\,y = m,\,\,z = n\)
Hay \(I\) là giao điểm của các đường trung trực của tam giác \(ABC\)
Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí
>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
