Cho tam giác nhọn \(ABC\). Từ một điểm \(I\) nằm trong tam giác ta kẻ \(IM \bot BC,\,\,IN \bot AC,\,\,IK

Câu hỏi số 681645:

Vận dụng

Cho tam giác nhọn \(ABC\). Từ một điểm \(I\) nằm trong tam giác ta kẻ \(IM \bot BC,\,\,IN \bot AC,\,\,IK \bot AB\). Đặt \(AK = x,\,\,BM = y,\,\,CN = z\). Tìm vị trí của \(I\) để tổng \({x^2} + {y^2} + {z^2}\) nhỏ nhất.

Giải chi tiết

Đặt \(BK = k,\,\,CM = m,\,\,AN = n,\,\,BC = a,\,\,CA = b,\,\,AB = c\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}{x^2} + {y^2} + {z^2} = \left( {I{A^2} - I{K^2}} \right) + \left( {I{B^2} - I{M^2}} \right) + \left( {I{C^2} - I{N^2}} \right)\\ = \left( {I{A^2} - I{N^2}} \right) + \left( {I{B^2} - I{K^2}} \right) + \left( {I{C^2} - I{M^2}} \right)\\ = A{N^2} + B{K^2} + C{M^2}\\ = {n^2} + {k^2} + {m^2}\end{array}\)

Do đó \(2\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right) = {x^2} + {y^2} + {z^2} + {n^2} + {k^2} + {m^2} = \left( {{x^2} + {k^2}} \right) + \left( {{y^2} + {m^2}} \right) + \left( {{z^2} + {n^2}} \right)\)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {k^2} \ge \dfrac{{{{\left( {x + k} \right)}^2}}}{2} = \dfrac{{A{B^2}}}{2} = \dfrac{{{c^2}}}{2}\\{y^2} + {m^2} \ge \dfrac{{{{\left( {y + m} \right)}^2}}}{2} = \dfrac{{B{C^2}}}{2} = \dfrac{{{a^2}}}{2}\\{z^2} + {n^2} \ge \dfrac{{{{\left( {z + n} \right)}^2}}}{2} = \dfrac{{A{C^2}}}{2} = \dfrac{{{b^2}}}{2}\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} + {k^2} + {m^2} + {n^2} \ge \dfrac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{2}\\ \Rightarrow 2\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right) \ge \dfrac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{2}\\ \Rightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} \ge \dfrac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{4}\end{array}\)

Dấu xảy ra khi và chỉ khi \(x = k,\,\,y = m,\,\,z = n\)

Hay \(I\) là giao điểm của các đường trung trực của tam giác \(ABC\)

Xem lời giải Hỏi đáp / Thảo luận

Câu hỏi:681645

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều). Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.