Cho khối lăng trụ \(ABCD \cdot A'B'C'D'\) có đáy A B C D là hình thoi cạnh \(a,\angle ABC = {60^\circ }\).
Cho khối lăng trụ \(ABCD \cdot A'B'C'D'\) có đáy A B C D là hình thoi cạnh \(a,\angle ABC = {60^\circ }\). Chân đường cao hạ từ \(B'\) trùng với tâm \(O\) của đáy ABCD, góc giữa mặt phẳng \(\left( {BB'C'C} \right)\) với đáy bằng \({60^\circ }\) . Thể tích khối lăng trụ đã cho bằng
Quảng cáo
Thể tích hình lăng trụ có chiều cao h, diện tích đáy B: \(V = Bh\).
ABCD là hình thoi nên \(AB = BC\). Lại có \(\angle ABC = {60^\circ }\) nên \(\Delta ABC\) là tam giác đều cạnh
Diện tích đáy ABCD là \({S_{ABCD}} = 2 \cdot {S_{ABC}} = 2 \cdot \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}\).
Kẻ \({\rm{OH}} \bot BC \Rightarrow \) Góc giữa mặt phẳng \(\left( {BB'C'C} \right)\) với đáy khi đó là \(\angle B'HO = {60^\circ }\).
Ta có \(\dfrac{1}{{O{H^2}}} = \dfrac{1}{{O{B^2}}} + \dfrac{1}{{O{C^2}}} = \dfrac{1}{{\dfrac{{3{a^2}}}{4}}} + \dfrac{1}{{\dfrac{{{a^2}}}{4}}} = \dfrac{4}{{3{a^2}}} + \dfrac{4}{{{a^2}}} = \dfrac{{16}}{{3{a^2}}} \Rightarrow OH = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{4}\).
Theo giả thiết, \(B'O\) là đường cao lăng trụ \(ABCD \cdot {A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }{D^\prime }\).
\(B'O = OH \cdot \tan \angle B'HO = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{4}\tan {60^\circ } = \dfrac{{3a}}{4}\)
\({V_{ABCD \cdot A'B'C'D'}} = {S_{ABCD}} \cdot B'O = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2} \cdot \dfrac{{3a}}{4} = \dfrac{{3{a^3}\sqrt 3 }}{8}.\)
Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
