Cho khối lăng trụ \(ABCD \cdot A'B'C'D'\) có đáy A B C D là hình thoi cạnh \(a,\angle ABC = {60^\circ }\).

Câu hỏi số 685106:

Vận dụng

Cho khối lăng trụ \(ABCD \cdot A'B'C'D'\) có đáy A B C D là hình thoi cạnh \(a,\angle ABC = {60^\circ }\). Chân đường cao hạ từ \(B'\) trùng với tâm \(O\) của đáy ABCD, góc giữa mặt phẳng \(\left( {BB'C'C} \right)\) với đáy bằng \({60^\circ }\) . Thể tích khối lăng trụ đã cho bằng

Câu trả lời của bạn

Phương pháp giải

Thể tích hình lăng trụ có chiều cao h, diện tích đáy B: \(V = Bh\).

Giải chi tiết

ABCD là hình thoi nên \(AB = BC\). Lại có \(\angle ABC = {60^\circ }\) nên \(\Delta ABC\) là tam giác đều cạnh

Diện tích đáy ABCD là \({S_{ABCD}} = 2 \cdot {S_{ABC}} = 2 \cdot \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}\).

Kẻ \({\rm{OH}} \bot BC \Rightarrow \) Góc giữa mặt phẳng \(\left( {BB'C'C} \right)\) với đáy khi đó là \(\angle B'HO = {60^\circ }\).

Ta có \(\dfrac{1}{{O{H^2}}} = \dfrac{1}{{O{B^2}}} + \dfrac{1}{{O{C^2}}} = \dfrac{1}{{\dfrac{{3{a^2}}}{4}}} + \dfrac{1}{{\dfrac{{{a^2}}}{4}}} = \dfrac{4}{{3{a^2}}} + \dfrac{4}{{{a^2}}} = \dfrac{{16}}{{3{a^2}}} \Rightarrow OH = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{4}\).

Theo giả thiết, \(B'O\) là đường cao lăng trụ \(ABCD \cdot {A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }{D^\prime }\).

\(B'O = OH \cdot \tan \angle B'HO = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{4}\tan {60^\circ } = \dfrac{{3a}}{4}\)

\({V_{ABCD \cdot A'B'C'D'}} = {S_{ABCD}} \cdot B'O = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2} \cdot \dfrac{{3a}}{4} = \dfrac{{3{a^3}\sqrt 3 }}{8}.\)

Xem lời giải

Câu hỏi:685106

Tham Gia Group Dành Cho 2K8 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 11 cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.