Cho hình lăng trụ \(ABC \cdot A'B'C'\) có tam giác đáy ABC vuông đỉnh \(A,AB = a,AC = \sqrt 3 a\), \(A'A =
Cho hình lăng trụ \(ABC \cdot A'B'C'\) có tam giác đáy ABC vuông đỉnh \(A,AB = a,AC = \sqrt 3 a\), \(A'A = A'B = A'C\) và mặt phẳng \(\left( {ABB'A'} \right)\) tạo với mặt đáy \((ABC)\) một góc \({60^\circ }\). Tính thể tích \(V\) của lăng trụ đã cho.
Quảng cáo
Thể tích hình lăng trụ có chiều cao h, diện tích đáy B: \(V = Bh\).
Gọi \(H\) là trung điểm của BC.
Xét ba tam giác \(A'HB,A'HA,A'HC\) có: \(A'H\) chung, \(A'A = A'B = A'C\) và \(HA = HB = HC\)
\( \Rightarrow \Delta A'HA = \Delta A'HB = \Delta A'HC\) mà \(\Delta A'HB\) vuông tại \(H \Rightarrow \angle A'HA = \angle A'HB = \angle A'HC = {90^\circ }\)
\( \Rightarrow {A^\prime }H \bot (ABC)\).
Tam giác \(A'AB\) cân tại \(A'\) có: \(I\) là trung điểm của AB nên \(A'I \bot AB\).
Ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{A'I \bot AB}\\{A'H \bot AB\left( {{\rm{ do }}A'H \bot (ABC)} \right)}\end{array} \Rightarrow AB \bot \left( {A'HI} \right) \Rightarrow HI \bot AB} \right.\).
Do đó, \(\left( {\left( {ABB'A'} \right),(ABC)} \right) = \angle A'IH = {60^\circ }\).
Tam giác A B C có: H, I lần lượt là trung điểm của BC, AB nên \(HI = \dfrac{1}{2}AC = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\).
Tam giác \(A'HI\) vuông tại \(H\) có:
\(\tan \angle A'IH = \dfrac{{A'H}}{{IH}} \Rightarrow \tan {60^\circ } = \dfrac{{A'H}}{{\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}}} \Leftrightarrow A'H = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} \cdot \sqrt 3 = \dfrac{{3a}}{2}\).
Thể tích lăng trụ là: \(V = \dfrac{1}{3} \cdot A'H \cdot {S_{ABC}} = \dfrac{1}{6} \cdot A'H \cdot AB \cdot AC = \dfrac{1}{6} \cdot \dfrac{{3a}}{2} \cdot a \cdot a\sqrt 3 = \dfrac{{\sqrt 3 {a^3}}}{4}\).
Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
