Cho \(\Delta ABC\) cân tại \(A\) có đường phân giác AD và đường trung tuyến BE cắt nhau tại

Câu hỏi số 687881:

Vận dụng

Cho \(\Delta ABC\) cân tại \(A\) có đường phân giác AD và đường trung tuyến BE cắt nhau tại \(H\)

a) Chứng minh \(\Delta ABH = \Delta ACH\) và \(BH = CH\).

b) Qua \(C\) kẻ đường thẳng song song với AD, đường thẳng này cắt tia BE tại \(F\). Chứng minh \(EH = EF\).

c) Gọi \(G\) là giao điểm của FD với CH. Chứng minh \(HG = \dfrac{2}{3}HE\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:687881

Phương pháp giải

Áp dụng tính chất trong tam giác

Giải chi tiết

a) Vì \(\Delta ABC\) cân tại \({\rm{A}}\) nên \({\rm{AB}} = {\rm{AC}}\)

Vì AD là phân giác của \(\Delta ABC\) nên \(\angle {BAH} = \angle {CAH}\)

\( \Rightarrow \Delta {\rm{ABH}} = \Delta {\rm{ACH (c}}{\rm{.g}}{\rm{.c) }}\)\( \Rightarrow BH = CH\)

Vì \({\rm{BE}}\) là đường trung tuyến của \(\Delta ABC\) nên \({\rm{E}}\) là trung điểm của AC

\( \Rightarrow \) AE=CE

Có CF//AD nên \( \Rightarrow \angle {HAE} = \angle {FCE}\)

Xét \(\Delta AEH\) và \(\Delta CEF\)

Có +) \(\angle {HAE} = \angle {FCE}\)

+) AE=CE

+)\(\angle {AEH} = \angle {FEC}\) (2 góc đối đỉnh)

Suy ra \(\Delta AEH = \Delta CEF{\rm{ (g}}{\rm{.c}}{\rm{.g) }}\)

Suy ra \(EH = EF\)

c) Vì \(\Delta ABC\) cân tại \({\rm{A}}\) nên đường phân giác \({\rm{AD}}\) cũng là đường trung tuyến. Do đó \({\rm{H}}\) là trọng tâm của \(\Delta ABC\).

Do đó \(BH = \dfrac{2}{3}BE\). Từ đó suy ra \(BH = 2HE = HF\) Nên \(H\) là trung điểm của BF

Có D là trung điểm của BC \( \Rightarrow \) FD là đường trung tuyến.

Xét \(\Delta BCF\) có 2 đường trung tuyến \({\rm{FD}}\) và \({\rm{CH}}\) cắt nhau tại \({\rm{G}}\). nên \({\rm{G}}\) là trọng tâm trong \(\Delta BCF\): \(CG = \dfrac{2}{3}CH \Rightarrow HG = \dfrac{1}{3}CH = \dfrac{1}{3}BH\)

Vậy \(HG = \dfrac{1}{3} \cdot 2HE = \dfrac{2}{3}HE\).

Tham Gia Group Dành Cho 2K12 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 7 trên Tuyensinh247.com Học bám sát chương trình SGK mới nhất của Bộ Giáo dục. Cam kết giúp học sinh lớp 7 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link