Cho lăng trụ đều \(ABC.A'B'C'\) có cạnh đáy bằng \(a\), chiều cao bằng \(2a\). Gọi \(M\) là trung
Cho lăng trụ đều \(ABC.A'B'C'\) có cạnh đáy bằng \(a\), chiều cao bằng \(2a\). Gọi \(M\) là trung điểm của \(A'B',\,\,N\) là điểm thuộc cạnh \(A'C'\) sao cho \(A'N = \dfrac{2}{3}A'C',\,\,K\) là trọng tâm tam giác \(ABC\). Mặt phẳng \(\left( {MNK} \right)\) chia khối lăng trụ thành hai phần. Tính thể tích phần có thể tích nhỏ hơn.
Đáp án đúng là: B
Quảng cáo
Qua \(K\) kẻ \(M'N'\parallel MN\)
Gọi \(K'\) là hình chiếu vuông góc của \(A'\) trên \(MN\)
Ta có: \({S_{A'B'C'}} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\)
Ta có: \(\dfrac{{{S_{A'MN}}}}{{{S_{A'B'C'}}}} = \dfrac{{A'M}}{{A'B'}}.\dfrac{{A'N}}{{A'C'}} = \dfrac{1}{2}.\dfrac{2}{3} = \dfrac{1}{3} \Rightarrow {S_{A'MN}} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{12}}\)
Lại có: \({S_{A'MN}} = {S_{A'MK'}} + {S_{A'K'N}} = \dfrac{1}{2}A'K'.\sin 30^\circ \left( {A'M + A'N} \right) = \dfrac{1}{4}A'K'.\dfrac{7}{6} = \dfrac{7}{{24}}A'K'\)
Suy ra \(A'K' = \dfrac{{2a\sqrt 3 }}{7}\)
Mà \(AK = \dfrac{{\sqrt 3 }}{3} \Rightarrow \dfrac{{AK}}{{A'K'}} = \dfrac{7}{6} \Rightarrow \dfrac{{MN}}{{M'N'}} = \dfrac{6}{7}\)
Gọi \(T\) là giao của \(AA'\) với \(\left( {MNN'M'} \right)\)
Khi đó \(\dfrac{{TA'}}{{TA}} = \dfrac{{MN}}{{M'N'}} = \dfrac{6}{7} \Rightarrow AA' = \dfrac{1}{7}AT \Rightarrow AT = 14 \Rightarrow TA' = 12\)
\( \Rightarrow \dfrac{{{V_{TA'MN}}}}{{{V_{TAM'N'}}}} = {\left( {\dfrac{6}{7}} \right)^3}\)
Hơn nữa \({V_{TA'MN}} = \dfrac{1}{3}TA'.{S_{A'MN}} = \dfrac{1}{3}.12.\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{12}} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3}\)
Ta có: \({V_{A'MN.AM'N'}} = {V_{TA'MN}} - {V_{TAM'N'}} = \left( {{{\left( {\dfrac{7}{6}} \right)}^3} - 1} \right){V_{TA'MN}} = \dfrac{{127{a^3}\sqrt 3 }}{{648}}\)
Chọn B
Đáp án cần chọn là: B
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
