Cho lăng trụ đều \(ABC.A'B'C'\) có cạnh đáy bằng \(a\), chiều cao bằng \(2a\). Gọi \(M\) là trung
Cho lăng trụ đều \(ABC.A'B'C'\) có cạnh đáy bằng \(a\), chiều cao bằng \(2a\). Gọi \(M\) là trung điểm của \(A'B',\,\,N\) là điểm thuộc cạnh \(A'C'\) sao cho \(A'N = \dfrac{2}{3}A'C',\,\,K\) là trọng tâm tam giác \(ABC\). Mặt phẳng \(\left( {MNK} \right)\) chia khối lăng trụ thành hai phần. Tính thể tích phần có thể tích nhỏ hơn.
Đáp án đúng là: B
Quảng cáo
Qua \(K\) kẻ \(M'N'\parallel MN\)
Gọi \(K'\) là hình chiếu vuông góc của \(A'\) trên \(MN\)
Ta có: \({S_{A'B'C'}} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\)
Ta có: \(\dfrac{{{S_{A'MN}}}}{{{S_{A'B'C'}}}} = \dfrac{{A'M}}{{A'B'}}.\dfrac{{A'N}}{{A'C'}} = \dfrac{1}{2}.\dfrac{2}{3} = \dfrac{1}{3} \Rightarrow {S_{A'MN}} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{12}}\)
Lại có: \({S_{A'MN}} = {S_{A'MK'}} + {S_{A'K'N}} = \dfrac{1}{2}A'K'.\sin 30^\circ \left( {A'M + A'N} \right) = \dfrac{1}{4}A'K'.\dfrac{7}{6} = \dfrac{7}{{24}}A'K'\)
Suy ra \(A'K' = \dfrac{{2a\sqrt 3 }}{7}\)
Mà \(AK = \dfrac{{\sqrt 3 }}{3} \Rightarrow \dfrac{{AK}}{{A'K'}} = \dfrac{7}{6} \Rightarrow \dfrac{{MN}}{{M'N'}} = \dfrac{6}{7}\)
Gọi \(T\) là giao của \(AA'\) với \(\left( {MNN'M'} \right)\)
Khi đó \(\dfrac{{TA'}}{{TA}} = \dfrac{{MN}}{{M'N'}} = \dfrac{6}{7} \Rightarrow AA' = \dfrac{1}{7}AT \Rightarrow AT = 14 \Rightarrow TA' = 12\)
\( \Rightarrow \dfrac{{{V_{TA'MN}}}}{{{V_{TAM'N'}}}} = {\left( {\dfrac{6}{7}} \right)^3}\)
Hơn nữa \({V_{TA'MN}} = \dfrac{1}{3}TA'.{S_{A'MN}} = \dfrac{1}{3}.12.\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{12}} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3}\)
Ta có: \({V_{A'MN.AM'N'}} = {V_{TA'MN}} - {V_{TAM'N'}} = \left( {{{\left( {\dfrac{7}{6}} \right)}^3} - 1} \right){V_{TA'MN}} = \dfrac{{127{a^3}\sqrt 3 }}{{648}}\)
Chọn B
Đáp án cần chọn là: B
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
