Với hai số thực \(a,\,\,b\) thỏa mãn: hàm số \(f\left( x \right) = a{x^2} + \dfrac{b}{x}\) có đúng một

Câu hỏi số 688051:

Vận dụng cao

Với hai số thực \(a,\,\,b\) thỏa mãn: hàm số \(f\left( x \right) = a{x^2} + \dfrac{b}{x}\) có đúng một cực tiểu và không có cực đại; đồng thời hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {{x^2} - 2x} \right)\) có đúng 2 cực tiểu và 1 cực đại, trong đó điểm cực đại của \(g\left( x \right)\) bằng điểm cực tiểu của \(f\left( x \right)\); hai giá trị cực tiểu của \(g\left( x \right)\) bằng nhau và bằng giá trị cực tiểu của \(f\left( x \right)\): tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = \dfrac{{{a^2} + ab + 1}}{{a + b}}\)

A. \(\dfrac{1}{3}\).

B. Không tồn tại.

C. \(2\sqrt 2 - 1\).

D. \(\dfrac{{2\sqrt 3 }}{3}\).

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:688051

Giải chi tiết

Ta có: \(f'\left( x \right) = 2ax - \dfrac{b}{{{x^2}}}\)

\(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = \sqrt[3]{{\dfrac{b}{{2a}}}}\)

\(\begin{array}{l}g'\left( x \right) = \left( {2x - 2} \right)f'\left( {{x^2} - 2x} \right)\\g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} - 2x = \sqrt[3]{{\dfrac{b}{{2a}}}}\\x = 1\end{array} \right.\,\,\left( 1 \right)\end{array}\)

Trường hợp 1: \(x = 1\) là điểm cực đại của \(g\left( x \right)\)

\( \Rightarrow 1 = \sqrt[3]{{\dfrac{b}{{2a}}}} \Leftrightarrow b = 2a \Rightarrow f\left( x \right) = a{x^2} + \dfrac{{2a}}{x} = a\left( {{x^2} + \dfrac{2}{x}} \right)\)

Ta có: \(P = \dfrac{{3{a^2} + 1}}{{3a}} \ge \dfrac{{2\sqrt 3 a}}{{3a}} = \dfrac{{2\sqrt 3 }}{3}\)

Trường hợp 2: \(x = c\) là điểm cực đại

Khi đó \(c = \sqrt[3]{{\dfrac{b}{{2a}}}}\)

Thay vào (1) ta có: \({\left( {\sqrt[3]{{\dfrac{b}{{2a}}}}} \right)^2} - 2\sqrt[3]{{\dfrac{b}{{2a}}}} = \sqrt[3]{{\dfrac{b}{{2a}}}} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt[3]{{\dfrac{b}{{2a}}}} = 0\\\sqrt[3]{{\dfrac{b}{{2a}}}} = 3\end{array} \right.\)

Nếu \(b = 0\) thì \(a = 0\) (loại)

Nếu \(\sqrt[3]{{\dfrac{b}{{2a}}}} = 3\)

Khi đó điểm cực đại của \(g\left( x \right)\) là \(x = 3\), điểm cực tiểu là \(x = 1,\,\,x = - 1\)

Do đó \(\left\{ \begin{array}{l}g\left( 1 \right) = g\left( { - 1} \right)\\f\left( 3 \right) = f\left( { - 1} \right)\end{array} \right. \Rightarrow a = - \dfrac{b}{6}\) (loại)

Vậy \(P \ge \dfrac{{2\sqrt 3 }}{3}\)

Chọn D

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.