1) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = {x^3} - 6{x^2} + 5\) trên đoạn \(\left[ { - 1;2}

Câu hỏi số 688570:

Thông hiểu

1) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = {x^3} - 6{x^2} + 5\) trên đoạn \(\left[ { - 1;2} \right].\)

2) Cho hàm số \(y = \dfrac{{ - 4x + 12}}{{x + 1}}\) có đồ thị là \(\left( C \right)\), đường thẳng \(d:y = 2x + m\). Chứng minh rằng \(d\) cắt \(\left( C \right)\) tại hai điểm phân biệt với mọi giá trị của tham số \(m.\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:688570

Phương pháp giải

1) Khảo sát hàm số trên đoạn \(\left[ { - 1;2} \right]\). Từ đó suy ra giá trị nhỏ nhất của hàm số.

- Tìm điều kiện xác định.

- Viết phương trình hoành độ giao điểm.

- Chứng minh phương trình hoành độ giao điểm có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn điều kiện.

Giải chi tiết

Ta có: \(y' = 3{x^2} - 12x\) có \(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 4\,(loai)\end{array} \right..\)

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên \( \Rightarrow \) giá trị nhỏ nhất của hàm số là \(y = - 11\) đạt được khi \(x = 2.\)

Điều kiện: \(x \ne - 1.\)

Phương trình hoành độ giao điểm của \(d\) và \(\left( C \right)\) là:

\(\begin{array}{l}2x + m = \dfrac{{ - 4x + 12}}{{x + 1}}\\ \Rightarrow \left( {2x + m} \right)\left( {x + 1} \right) = - 4x + 12\\ \Leftrightarrow 2{x^2} + \left( {m + 6} \right)x + m - 12 = 0\,\left( * \right)\end{array}\)

Với \(x = - 1\) thì \(\left( * \right) \Leftrightarrow 2 - m - 6 + m - 12 = 0 \Leftrightarrow - 16 = 0\) (vô lý)

\( \Rightarrow x = - 1\) không phải là nghiệm của phương trình.

Ta có:

\(\Delta = {\left( {m + 6} \right)^2} - 4.2.\left( {m - 12} \right) = {m^2} + 4m + 132 = {\left( {m + 2} \right)^2} + 128 > 0,\forall m.\)

Do đó phương trình \(\left( * \right)\) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi \(m\).

Vậy đường thẳng \(d\) cắt \(\left( C \right)\) tại hai điểm phân biệt với mọi giá trị của tham số \(m.\)

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.