1) Cho tập hợp \(A = \left\{ {1,2,...,20} \right\}\) gồm \(20\) số nguyên dương đầu tiên. Lấy ngẫu

Câu hỏi số 688573:

Vận dụng

1) Cho tập hợp \(A = \left\{ {1,2,...,20} \right\}\) gồm \(20\) số nguyên dương đầu tiên. Lấy ngẫu nhiên hai số phân biệt từ tập \(A.\) Tìm xác suất để tích hai số được chọn là một số chia hết cho \(6.\)

2) Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác cân tại \(A,\widehat {BAC} = 120^\circ ,AB = AC = a.\) Tam giác \(SAB\) vuông tại \(B\), tam giác \(SAC\) vuông tại \(C\), góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {ABC} \right)\) bằng \(60^\circ \). Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của điểm \(S\) lên mặt phẳng \(\left( {ABC} \right).\) Chứng minh rằng \(HB\) vuông góc \(AB\) và tính thể tích khối chóp \(S.ABC\) theo \(a.\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:688573

Phương pháp giải

- Tìm không gian mẫu.

- Để tích hai số chia hết cho \(6\) thì một số chia hết cho \(2\) và \(1\) số chia hết cho \(3.\)

- Chứng minh \(HB \bot AB.\)

- Xác định góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {ABC} \right)\).

- Từ đó tính \(SH.\) Suy ra thể tích khối chóp \(S.ABC.\)

Giải chi tiết

Không gian mẫu: \(n\left( \Omega \right) = C_{20}^2 = 190.\)

Gọi \(B\) là biến cố: “tích hai số được chọn là một số chia hết cho \(6\)”.

Trong tập hợp \(A\) có \(10\) phần tử chia hết cho \(2\) và \(6\) phần tử chia hết cho \(3\).

Để tích hai số được chọn là một số chia hết cho \(6\) thì trong hai số được chọn có một số chia hết cho \(2\) và một số chia hết cho \(3\).

Do đó: \(n\left( B \right) = C_{10}^1.C_6^1 = 60.\)

Vậy \(P = \dfrac{{n\left( B \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \dfrac{{60}}{{190}} = \dfrac{6}{{19}}.\)

Do \(\Delta SAB\) vuông tại \(B \Rightarrow AB \bot SB\,\left( 1 \right)\).

Mà \(SH \bot \left( {ABC} \right)\) nên \(AB \bot SH\,\left( 2 \right).\)

Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) suy ra: \(AB \bot \left( {SBH} \right) \Rightarrow AB \bot HB.\)

Chứng minh tương tự: \(AC \bot HC.\)

Xét \(\Delta ABH\) và \(\Delta ACH\) là hai tam giác vuông có: \(\left\{ \begin{array}{l}AB = AC\\AH\,chung\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \Delta ABH = \Delta ACH\) (cạnh huyền – cạnh góc vuông)

\( \Rightarrow \widehat {HAB} = \widehat {HAC} = \dfrac{1}{2}\widehat {BAC} = 60^\circ .\)

\( \Rightarrow BH = AB.\tan \widehat {HAB} = a.\tan 60^\circ = a\sqrt 3 .\)

Lại có:

\(\left\{ \begin{array}{l}\left( {ABC} \right) \cap \left( {SAB} \right) = AB\\AB \bot \left( {SBH} \right)\\\left( {ABC} \right) \cap \left( {SBH} \right) = BH\\\left( {SAB} \right) \cap \left( {SBH} \right) = SB\end{array} \right. \Rightarrow \left( {\left( {SAB} \right);\left( {ABC} \right)} \right) = \left( {SB;BH} \right) = \widehat {SBH} = 60^\circ .\)

Do đó: \(SH = BH.\tan \widehat {SBH} = a\sqrt 3 .\tan 60^\circ = 3a.\)

Vậy thể tích khối chóp \(S.ABC\) là:

\({V_{S.ABC}} = \dfrac{1}{3}.SH.{S_{ABC}} = \dfrac{1}{3}.SH.\dfrac{1}{2}.AB.AC.\sin \widehat {BAC} = \dfrac{1}{3}.3a.\dfrac{1}{2}.a.a.\sin 120^\circ = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{4}.\)

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.