1) Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho điểm \(I\left( {1;2} \right)\) và đường thẳng \(d:3x - 4y +

Câu hỏi số 688572:

Vận dụng

1) Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho điểm \(I\left( {1;2} \right)\) và đường thẳng \(d:3x - 4y + 10 = 0\). Viết phương trình đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\) và tiếp xúc với đường thẳng \(d.\)

2) Trong không gian \(Oxyz\), cho đường thẳng \(d:\dfrac{x}{1} = \dfrac{{y - 1}}{1} = \dfrac{{z - 3}}{{ - 2}}\) và mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 6z - 6 = 0.\) Viết phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) chứa đường thẳng \(d\) sao cho giao tuyến của \(\left( P \right)\) và \(\left( S \right)\) là đường tròn có bán kính nhỏ nhất.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:688572

Phương pháp giải

- Tìm bán kính của \(\left( C \right)\). Từ đó suy ra phương trình đường tròn.

Gọi \(H,r\) lần lượt là tâm và bán kính của đường tròn giao tuyến

Để \(r\) nhỏ nhất thì \(d\left( {I;\left( P \right)} \right)\) lớn nhất. Tìm điều kiện để \(d\left( {I,\left( P \right)} \right)\) đạt giá trị lớn nhất.

Từ đó viết phương trình mặt phẳng \(\left( P \right).\)

Giải chi tiết

Do đường tròn \(\left( C \right)\) tiếp xúc với đường thẳng \(d\) nên \(R = d\left( {I;d} \right) = \dfrac{{\left| {3.1 - 4.2 + 10} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} }} = 1.\)

Phương trình đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( {1;2} \right)\) và bán kính \(R = 1\) là:

\({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 1.\)

Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {2;0; - 3} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt {{1^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2} + 6} = 4\).

Gọi \(\left( C \right)\) là đường tròn giao tuyến của \(\left( P \right)\) và \(\left( S \right)\).

Kẻ \(IH \bot \left( P \right)\)\( \Rightarrow \) \(H\) là tâm của đường tròn \(\left( C \right).\)

Kẻ \(IM \bot d\left( {M \in d} \right).\)

Gọi \(r\) là bán kính của đường tròn \(\left( C \right).\)

Khi đó: \(r = \sqrt {{R^2} - I{H^2}} .\)

Do đó để \(r\) đạt giá trị nhỏ nhất thì \(IH\) đạt giá trị lớn nhất.

Mặt khác \(IH \le IM \Rightarrow I{M_{\max }} \Leftrightarrow H \equiv M.\)

Khi đó: \(IM \bot \left( P \right).\)

Do \(M \in d \Rightarrow M\left( {t;t + 1; - 2t + 3} \right) \Rightarrow \overrightarrow {IM} = \left( {t - 2;t + 1; - 2t + 6} \right).\)

Đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(N\left( {0;1;3} \right)\) và có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_d}} = \left( {1;1; - 2} \right)\).

Mà \(IM \bot d \Rightarrow \overrightarrow {IM} .\overrightarrow {{u_d}} = 0 \Leftrightarrow 1.\left( {t - 2} \right) + 1.\left( {t + 1} \right) - 2.\left( { - 2t + 6} \right) = 0 \Leftrightarrow t = \dfrac{{13}}{6}.\)\( \Rightarrow \overrightarrow {IM} = \left( {\dfrac{1}{6};\dfrac{{19}}{6};\dfrac{5}{3}} \right)\).

Phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua \(N\left( {0;1;3} \right)\) nhận \(\overrightarrow {IM} = \left( {\dfrac{1}{6};\dfrac{{19}}{6};\dfrac{5}{3}} \right)\) hay \(\vec n = \left( {1;19;10} \right)\) làm VTPT là:

\(x + 19\left( {y - 1} \right) + 10\left( {z - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow x + 19y + 10z - 49 = 0\)

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.