a) Giải phương trình \({x^4} - 4{x^3} + 6{x^2} - 4x - 3 = 0\).b) Giải hệ phương trình \(\left\{

Câu hỏi số 688575:

Vận dụng cao

a) Giải phương trình \({x^4} - 4{x^3} + 6{x^2} - 4x - 3 = 0\).
b) Giải hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x - \sqrt {x + y} = \sqrt {2y - {x^2} + 2x} }\\{\left( {2 - \sqrt {x + y} } \right)\sqrt {{x^2} + 4} = 2\sqrt {3x} }\end{array}} \right.\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:688575

Phương pháp giải

a) Đưa về dạng phương trình tích.

b) Biến đổi phương trình đầu tiên về dạng phương trình tích và xét hai trường hợp.

Giải chi tiết

a) Ta biến đổi phương trình như sau:

\({x^4} - 4{x^3} + 6{x^2} - 4x - 3 = 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {{x^2} - 2x - 1} \right)\left( {{x^2} - 2x + 3} \right) = 0\)

\(\; \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 1 = 0\) vì \(({x^2} - 2x + 3 = {(x - 1)^2} + 2 > 2 > 0)\)

\( \Leftrightarrow x \in \left\{ {1 + \sqrt 2 ,1 - \sqrt 2 } \right\}\)

Như vậy, tập nghiệm của phương trình đã cho là \(S = \left\{ {1 + \sqrt 2 ,1 - \sqrt 2 } \right\}\).
b) Điều kiện xác định: \(x + y \ge 0,\,\,2y - {x^2} + 2x \ge 0\).
Trước hết ta có biến đổi sau:

\(2x - \sqrt {x + y} = \sqrt {2y - {x^2} + 2x} \)

\( \Leftrightarrow {(2x - \sqrt {x + y} )^2} = 2y - {x^2} + 2x\)

\( \Leftrightarrow 4{x^2} - 4x\sqrt {x + y} + x + y = 2y - {x^2} + 2x\)

\( \Leftrightarrow 5{x^2} - 4x\sqrt {x + y} - \left( {x + y} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow 5x\left( {x - \sqrt {x + y} } \right) + \sqrt {x + y} \left( {x - \sqrt {x + y} } \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {x - \sqrt {x + y} } \right)\left( {5x + \sqrt {x + y} } \right) = 0\)

Lúc này, ta xét hai trường hợp sau.
+) Trường hợp 1: \(x - \sqrt {x + y} = 0\) suy ra \(x = \sqrt {x + y} \,\,(x \ge 0)\).

Thay vào phương trình thứ hai của hệ, ta được:

\(\left( {2 - x} \right)\sqrt {{x^2} + 4} = 2\sqrt 3 x\)

\( \Leftrightarrow {(2 - x)^2}\left( {{x^2} + 4} \right) = 12{x^2}\)

\( \Leftrightarrow \left( {{x^2} - 4x + 4} \right)\left( {{x^2} + 4} \right) = 12{x^2}\)

\( \Leftrightarrow {x^4} + 4{x^2} - 4{x^3} - 16x + 4{x^2} + 16 = 12{x^2}\)

\( \Leftrightarrow {x^4} - 4{x^3} - 4{x^2} - 16x + 16 = 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {{x^2} + 2x + 2} \right)\left( {{x^2} - 6x + 4} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow {x^2} - 6x + 4 = 0\) vì \(({x^2} + 2x + 2 = {(x + 1)^2} + 1 > 1 > 0)\)

\( \Leftrightarrow x \in \left\{ {3 - \sqrt 5 ,3 + \sqrt 5 } \right\}\)

Để ý điều kiện \(0 \le x \le 2\) nên \(x = 3 + \sqrt 5 \) (loại) suy ra \(x = 3 - \sqrt 5 \).
Khi đó, thay vào biểu thức ta được \(3 - \sqrt 5 = \sqrt {3 - \sqrt 5 + y} \) suy ra \(y = 11 - 5\sqrt 5 \). Thử lại, ta thấy nghiệm trên thỏa mãn.
+) Trường hợp 2: \(5x + \sqrt {x + y} = 0\) suy ra \(\sqrt {x + y} = - 5x\,\,(x \le 0)\)
Thay vào phương trình đầu của hệ, ta có \(7x = \sqrt {2y - {x^2} + 2x} .\)

Từ đây kết hợp \(x \le 0\) suy ra \(x = y = 0\). Thử lại ta thấy nghiệm trên không thỏa mãn.

Như vậy, tất cả các nghiệm của hệ phương trình là \(\left( {x,y} \right) = \left\{ {3 - \sqrt 5 ,11 - 5\sqrt 5 } \right\}\).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link