a) Tìm các số nguyên tố \(a,b\) và số nguyên dương \(m\) thoả mãn \({a^2} + {b^2} + 18ab = {4.5^m}\).b)

Câu hỏi số 688584:

Vận dụng cao

a) Tìm các số nguyên tố \(a,b\) và số nguyên dương \(m\) thoả mãn \({a^2} + {b^2} + 18ab = {4.5^m}\).
b) Cho 8 điểm phân biệt trên một đường tròn. Đánh số các điểm đó một cách ngẫu nhiên bởi các số \(1,2, \ldots ,8\) (hai điểm khác nhau được đánh số bởi hai số khác nhau). Mỗi dây cung nối hai điểm bất kỳ được gán với giá trị tuyệt đối của hiệu các số ở hai đầu mút. Chứng minh rằng luôn tìm được bốn dây cung, đôi một không có điểm chung, sao cho tổng của các số gán với bốn dây cung đó bằng 16 .

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:688584

Phương pháp giải

a) Ta tách \({a^2} + {b^2} + 18ab = {4.5^m}\) như sau: \({\rm{\;}}{(a - b)^2} = {4.5^m} - 20ab\).

b) Gọi \(X\) là tập 4 điểm được gán các số \(1,2,3,4\) và \(Y\) là tập 4 điểm còn lại.

Ta sẽ chỉ ra rằng tồn tại 4 dây cung không có điểm chung, mỗi dây cung nối một điểm của \(X\) và một điểm của \(Y\).

Giải chi tiết

a) Ta có \({\rm{\;}}{(a - b)^2} = {4.5^m} - 20ab \vdots 5 \Rightarrow \left( {a - b} \right) \vdots 5 \Rightarrow {(a - b)^2} \vdots 25\)

\(a,b \ge 2 \Rightarrow {a^2} + {b^2} + 18ab = {4.5^m} \ge 80 \Rightarrow m \ge 2\)

\(\; \Rightarrow 20ab = {(a - b)^2} - {4.5^m} \vdots 25 \Rightarrow 20ab:25 \Rightarrow ab \vdots 5 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{a \vdots 5}\\{b \vdots 5}\end{array}} \right.\)

\(\; \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a \vdots 5}\\{b \vdots 5}\end{array} \Rightarrow a = b = 5;m = 3.} \right.\)

b) Gọi \(X\) là tập 4 điểm được gán các số \(1,2,3,4\) và \(Y\) là tập 4 điểm còn lại.

Ta sẽ chỉ ra rằng tồn tại 4 dây cung không có điểm chung, mỗi dây cung nối một điểm của \(X\) và một điểm của \(Y\).

Một cách nối như vậy thoả mãn yêu cầu bài toán vì tổng các số tương ứng với 4 dây cung này bằng \(5 + 6 + 7 + 8 - 4 - 3 - 2 - 1 = 16\).
Dễ thấy rằng có một điểm của \(X\) nằm kề một điểm của \(Y\). Kẻ dây cung nối 2 điểm này rồi loại bỏ 2 điểm đánh dấu này lẫn dây cung đi, ta còn lại 6 diểm được đánh dấu trên đường tròn và 2 tập con \({X_1},{Y_1}\) tương ứng, mỗi tập gồm 3 điểm được đánh dấu.
Bây giờ, lập luận tương tự, ta cũng suy ra có một điểm của \({X_1}\) kề nhau với một điểm \({Y_1}\) trên đường tròn đã bỏ đi 2 điểm trước đó. Kẻ dây cung nối 2 điểm này rồi loại bỏ 2 điểm đánh dấu này lẫn dây cung đi, ta còn lại 4 điểm được đánh dấu trên đường tròn và 2 tập con \({X_2},{Y_2}\) tương ứng, mỗi tập gồm 2 điểm được đánh dấu.
Lập luận tương tự, ta cũng suy ra có một điểm của \({X_2}\) kề nhau với một điểm \({Y_2}\) trên đường tròn đã bỏ đi 2 điểm trước đó. Kẻ dây cung nối 2 điểm này cũng như dây cung nối 2 điểm còn lại. Bây giờ, khôi phục lại các dây cung ban đầu. Dễ thấy, 4 dây cung được kẻ đôi một không có điểm chung.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link