Cho các số thực \(a,b,c\) thoả mãn \(a + b + c = 0\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:\(P =

Câu hỏi số 688583:

Vận dụng cao

Cho các số thực \(a,b,c\) thoả mãn \(a + b + c = 0\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

\(P = \dfrac{{2a - 1}}{{{a^2} + 2}} + \dfrac{{2b - 1}}{{{b^2} + 2}} + \dfrac{{2c - 1}}{{{c^2} + 2}}{\rm{.\;}}\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:688583

Phương pháp giải

Cộng 3 vào cả hai vế.

Giải chi tiết

Ta có: \(P + 3 = \dfrac{{{{(a + 1)}^2}}}{{{a^2} + 2}} + \dfrac{{{{(b + 1)}^2}}}{{{b^2} + 2}} + \dfrac{{{{(c + 1)}^2}}}{{{c^2} + 2}} \ge \dfrac{{{{(a + b + 2)}^2}}}{{\left( {{a^2} + {b^2}} \right) + 4}} + \dfrac{{{{(c + 1)}^2}}}{{{c^2} + 2}}\).
Trong ba số \(a,b,c\) luôn có hai số cùng không âm hoặc cùng không dương; do đó không mất tính tổng quát, ta giả sử \(ab \ge 0\). Khi đó

\(P + 3 \ge \dfrac{{{{(a + b + 2)}^2}}}{{{{(a + b)}^2} + 4}} + \dfrac{{{{(c + 1)}^2}}}{{{c^2} + 2}} = \dfrac{{{{(c - 2)}^2}}}{{{c^2} + 4}} + \dfrac{{{{(c + 1)}^2}}}{{{c^2} + 2}}.\)

Ta có sự tương đương \(\dfrac{{{{(c - 2)}^2}}}{{{c^2} + 4}} + \dfrac{{{{(c + 1)}^2}}}{{{c^2} + 2}} \ge \dfrac{3}{2} \Leftrightarrow {c^2}{(c - 2)^2} \ge 0\).
Vậy \(P \ge \dfrac{{ - 3}}{2}\); dấu đẳng thức xảy ra chẳng hạn khi \(a = b = c = 0\), \(a = b = - 1,c = 2\).

Do đó \({P_{{\rm{min}}}} = \dfrac{{ - 3}}{2}\).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link