a) Tìm tất cả các số thực a sao cho \(a + \sqrt {2023} \) và \(\dfrac{{999}}{a} + \sqrt {2023} \) đều là

Câu hỏi số 689727:

Vận dụng cao

a) Tìm tất cả các số thực a sao cho \(a + \sqrt {2023} \) và \(\dfrac{{999}}{a} + \sqrt {2023} \) đều là các số nguyên.

b) Cho hai số thực dương \(a,b\) thỏa mãn \(4{a^2} + {b^2} = 2\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

\(T = \dfrac{{4a}}{{2 + b}} + \dfrac{b}{{1 + a}} + \dfrac{{2024}}{{2a + b}}\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:689727

Phương pháp giải

Giải chi tiết

a) Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}x = a + \sqrt {2023} \\y = \dfrac{{999}}{a} + \sqrt {2023} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = x - \sqrt {2023} \\y = \dfrac{{999}}{{x - \sqrt {2023} }} + \sqrt {2023} \end{array} \right..\)

Ta có \(y = \dfrac{{999}}{{x - \sqrt {2023} }} + \sqrt {2023} \Leftrightarrow xy - y\sqrt {2023} = 999 + x\sqrt {2023} - 2023\)

\( \Leftrightarrow xy + 1024 = \left( {x + y} \right)\sqrt {2023} \)

Vì x, y nguyên nên \(x + y = 0\), suy ra \(y = - x\) và \(xy + 1024 = 0\).

Do đó \(x = \pm 32\).

Vậy \(a = \pm 32 - \sqrt {2023} \).

b) Ta có \(4{a^2} + {b^2} \ge 4ab \Leftrightarrow 2\left( {4{a^2} + {b^2}} \right) \ge {\left( {2a + b} \right)^2}\)

\( \Leftrightarrow 4 \ge {\left( {2a + b} \right)^2} \Leftrightarrow 2a + b \le 2 \Leftrightarrow a + \dfrac{b}{2} \le 1\).

Đặt \(x = a;y = \dfrac{b}{2}\) , ta có \(x + y \le 1\).

Khi đó \(\dfrac{1}{2}T = \dfrac{a}{{1 + \dfrac{b}{2}}} + \dfrac{b}{{2\left( {1 + a} \right)}} + \dfrac{{506}}{{a + \dfrac{b}{2}}} = \dfrac{x}{{1 + y}} + \dfrac{y}{{1 + x}} + \dfrac{{506}}{{x + y}}.\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có

+) \(\dfrac{x}{{1 + y}} + \dfrac{4}{9}x\left( {1 + y} \right) \ge \dfrac{4}{3}x \Leftrightarrow \dfrac{x}{{1 + y}} \ge \dfrac{8}{9}x - \dfrac{4}{9}xy\).

+) \(\dfrac{y}{{1 + x}} + \dfrac{4}{9}y\left( {1 + x} \right) \ge \dfrac{4}{3}y \Leftrightarrow \dfrac{y}{{1 + x}} \ge \dfrac{8}{9}y - \dfrac{4}{9}xy\).

Suy ra \(\dfrac{1}{2}T \ge \dfrac{8}{9}\left( {x + y} \right) - \dfrac{8}{9}xy + \dfrac{{506}}{{x + y}} \ge \dfrac{8}{9}\left( {x + y} \right) + \dfrac{8}{{9(x + y)}} + \dfrac{{4546}}{{9(x + y)}} - \dfrac{8}{9}xy\).\( \ge \dfrac{8}{9}.2 + \dfrac{{4546}}{9} - \dfrac{8}{9}.\dfrac{1}{4} = \dfrac{{1520}}{3}\). ( để ý \(xy \le {\left( {\dfrac{{x + y}}{2}} \right)^2} \le \dfrac{1}{4}\))

Do đó \(T \ge \dfrac{{3040}}{3}\). Dấu “\( = \)” xảy ra khi và chỉ khi \(x = y = \dfrac{1}{2}\) hay \(a = \dfrac{1}{2};b = 1\).

Vậy giá trị nhỏ nhất của T bằng \(\dfrac{{3040}}{3}\) đạt được khi \(a = \dfrac{1}{2};b = 1\).

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link