a) Tìm tất cả các số thực a sao cho \(a + \sqrt {2023} \) và \(\dfrac{{999}}{a} + \sqrt {2023} \) đều là

Câu hỏi số 689727:

Vận dụng cao

a) Tìm tất cả các số thực a sao cho \(a + \sqrt {2023} \) và \(\dfrac{{999}}{a} + \sqrt {2023} \) đều là các số nguyên.

b) Cho hai số thực dương \(a,b\) thỏa mãn \(4{a^2} + {b^2} = 2\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

\(T = \dfrac{{4a}}{{2 + b}} + \dfrac{b}{{1 + a}} + \dfrac{{2024}}{{2a + b}}\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:689727

Phương pháp giải

Giải chi tiết

a) Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}x = a + \sqrt {2023} \\y = \dfrac{{999}}{a} + \sqrt {2023} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = x - \sqrt {2023} \\y = \dfrac{{999}}{{x - \sqrt {2023} }} + \sqrt {2023} \end{array} \right..\)

Ta có \(y = \dfrac{{999}}{{x - \sqrt {2023} }} + \sqrt {2023} \Leftrightarrow xy - y\sqrt {2023} = 999 + x\sqrt {2023} - 2023\)

\( \Leftrightarrow xy + 1024 = \left( {x + y} \right)\sqrt {2023} \)

Vì x, y nguyên nên \(x + y = 0\), suy ra \(y = - x\) và \(xy + 1024 = 0\).

Do đó \(x = \pm 32\).

Vậy \(a = \pm 32 - \sqrt {2023} \).

b) Ta có \(4{a^2} + {b^2} \ge 4ab \Leftrightarrow 2\left( {4{a^2} + {b^2}} \right) \ge {\left( {2a + b} \right)^2}\)

\( \Leftrightarrow 4 \ge {\left( {2a + b} \right)^2} \Leftrightarrow 2a + b \le 2 \Leftrightarrow a + \dfrac{b}{2} \le 1\).

Đặt \(x = a;y = \dfrac{b}{2}\) , ta có \(x + y \le 1\).

Khi đó \(\dfrac{1}{2}T = \dfrac{a}{{1 + \dfrac{b}{2}}} + \dfrac{b}{{2\left( {1 + a} \right)}} + \dfrac{{506}}{{a + \dfrac{b}{2}}} = \dfrac{x}{{1 + y}} + \dfrac{y}{{1 + x}} + \dfrac{{506}}{{x + y}}.\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có

+) \(\dfrac{x}{{1 + y}} + \dfrac{4}{9}x\left( {1 + y} \right) \ge \dfrac{4}{3}x \Leftrightarrow \dfrac{x}{{1 + y}} \ge \dfrac{8}{9}x - \dfrac{4}{9}xy\).

+) \(\dfrac{y}{{1 + x}} + \dfrac{4}{9}y\left( {1 + x} \right) \ge \dfrac{4}{3}y \Leftrightarrow \dfrac{y}{{1 + x}} \ge \dfrac{8}{9}y - \dfrac{4}{9}xy\).

Suy ra \(\dfrac{1}{2}T \ge \dfrac{8}{9}\left( {x + y} \right) - \dfrac{8}{9}xy + \dfrac{{506}}{{x + y}} \ge \dfrac{8}{9}\left( {x + y} \right) + \dfrac{8}{{9(x + y)}} + \dfrac{{4546}}{{9(x + y)}} - \dfrac{8}{9}xy\).\( \ge \dfrac{8}{9}.2 + \dfrac{{4546}}{9} - \dfrac{8}{9}.\dfrac{1}{4} = \dfrac{{1520}}{3}\). ( để ý \(xy \le {\left( {\dfrac{{x + y}}{2}} \right)^2} \le \dfrac{1}{4}\))

Do đó \(T \ge \dfrac{{3040}}{3}\). Dấu “\( = \)” xảy ra khi và chỉ khi \(x = y = \dfrac{1}{2}\) hay \(a = \dfrac{1}{2};b = 1\).

Vậy giá trị nhỏ nhất của T bằng \(\dfrac{{3040}}{3}\) đạt được khi \(a = \dfrac{1}{2};b = 1\).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link