Cho tam giác nhọn ABC (\(AB < AC\)) nội tiếp đường tròn (O), có đường cao AD và trực tâm H.
Cho tam giác nhọn ABC (\(AB < AC\)) nội tiếp đường tròn (O), có đường cao AD và trực tâm H. Gọi E là điểm trên (O) sao cho hai dây AE và BC song song với nhau. Đường thẳng EH cắt (O) tại điểm thứ hai là F và cắt đường trung trực của BC tại M.
a) Chứng minh M là trung điểm của EH và AMOF là tứ giác nội tiếp.
b) Chứng minh \(\angle {OFA} + \angle {ODF} = 180^\circ .\)
c) Gọi K là điểm đối xứng với A qua O. Tiếp tuyến của (O) tại A cắt đường thẳng FK tại T. Chứng minh hai đường thẳng TH và BC song song với nhau.
Quảng cáo
a) Vì hai dây AE và BC song song nên AH vuông góc với AE và trung trực của BC cũng là trung trực của AE.
Tam giác AEH vuông tại A nên đường trung trực của AE cũng chính là đường trung bình của tam giác đó.
Suy ra M là trung điểm của EH.
Do đó \(MA = ME = MH\), suy ra \(\angle {AMH} = \angle {AEM} + \angle {EAM} = 2\angle {AEM}\), hay \(\angle {AMF} = 2\angle {AEF}\).
Mặt khác, ta có \(\angle {AOF} = 2\angle {AEF}\) (góc ở tâm và góc nội tiếp cùng chắn chung AF)
Suy ra \(\angle {AMF} = \angle {AOF}\), do đó tứ giác AMOF nội tiếp. (1)
b) Gọi N là giao điểm thứ hai của AH với (O).
Ta có \(\angle {CBN} = \angle {CAN}\) (cùng chắn cung CN).
Ta lại có \(\angle {CBH} = \angle {CAN}\) (cùng phụ với \(\angle {ACB}\)). Suy ra \(\angle {CBH} = \angle {CBN}\).
Tam giác BHN có BD vừa là đường cao vừa là phân giác nên D là trung điểm của HN.
Tứ giác AENF nội tiếp (O) và AN cắt EF tại H nên ta có
\({\rm{HA}}{\rm{.HN = HE}}{\rm{.HF}} \Leftrightarrow HA.2HD = 2HM.HF \Leftrightarrow HA.HD = HM.HF\).
Suy ra tứ giác AMDF nội tiếp. (2)
Từ (1) và (2) ta có AODF nội tiếp. Suy ra \(\angle {OAF} + \angle {ODF} = 180^\circ \).
Mặt khác, tam giác OAF cân tại O nên \(\angle {OAF} = \angle {OFA}\).
Suy ra \(\angle {OFA} + \angle {ODF} = 180^\circ \).
c) Ta có \(\angle {ATF} = \angle {FAK}\) (cùng phụ với \(\angle {AKF}\)). (3)
Ta lại có \(\angle {EAN} = 90^\circ \) nên EN là đường kính của (O).
Tứ giác AEKN có hai đường chéo AK và NE bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường nên AEKN là hình chữ nhật. Suy ra \(AE = NK\), hay cung AE = cung NK.
Ta có:
\(\angle {{\rm{FAK}}}\) = \(\dfrac{1}{2}\)sđ cung KN + \(\dfrac{1}{2}\)sđ cung NF = \(\dfrac{1}{2}\)sđ cung AE + \(\dfrac{1}{2}\)sđ cung NF = \(\angle {AHE}\) (4)
Từ (3) và (4) suy ra \(\angle {ATF} = \angle {AHE}\), do đó tứ giác ATFH là tứ giác nội tiếp.
Suy ra \(\angle {AHT} = \angle {AFT} = 90^\circ \).
Ta có \(AH \bot TH\) và \(AH \bot BC\) nên \(TH//BC\).
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
