Cho đường tròn (O) đường kính AB. Trên (O) lấy điểm C sao cho \(AC > BC\) (C khác B). Các tiếp
Cho đường tròn (O) đường kính AB. Trên (O) lấy điểm C sao cho \(AC > BC\) (C khác B). Các tiếp tuyến của (O) tại A và C cắt nhau tại M. Gọi H là giao điểm của OM và AC, K là giao điểm thứ hai của BM với (O).
a) Chứng minh tứ giác AHKM nội tiếp.
b) Chứng minh HC là tia phân giác của góc \(\angle {KHB}\).
c) Qua O, kẻ đường thẳng song song với AM cắt MC tại P, MC cắt AB tại Q. Chứng minh rằng \(\dfrac{{AM}}{{MP}} - \dfrac{{MP}}{{QP}} = 1.\)
Quảng cáo
a) Ta có \(\angle {AKB} = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Suy ra \(\angle {AKM} = {90^0}\) (1)
Lại có \(MH \bot AC\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau )
nên \(\angle {MHA} = {90^0}\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra tứ giác AHKM nội tiếp.
b) Ta có \(\angle {MHK} = \angle {MAK}\) (cùng chắn cung \(MK\))
Và \(\angle {MAK} = \angle {ABM}\) (cùng chắn cung \(AK\))
Suy ra \(\angle {MHK} = \angle {OBK}\) (3)
Ta thấy \(\angle {KHO} + \angle {OBK} = \angle {KHO} + \angle {MHK} = {180^0} \Rightarrow \) BOHK nội tiếp.
Nên \(\angle {OHB} = \angle {OKB}\) (4)
Lại có \(\Delta OBK\)cân tại O nên \(\angle {OKB} = \angle {OBK}\) (5)
Từ (4) và (5) suy ra \(\angle {OHB} = \angle {OBK}\) (6)
Từ (3) và (6) suy ra \(\angle {MHK} = \angle {OHB} \Rightarrow \angle {KHC} = \angle {BHC}\)
Hay HC là tia phân giác của \(\angle {KHB}\)
c) Vì \(OP//AM{\rm{ }}\left( {GT} \right)\) nên \(\angle {AMO} = \angle {MOP}\) (hai góc so le trong)
Mà \(\angle {AMO} = \angle {OMP}\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
nên \(\angle {MOP} = \angle {OMP}\) (cùng bằng \(\angle {AMO}\))
Suy ra \(\Delta MOP\)cân tại P \( \Rightarrow MP = OP\)
Áp dụng định lý Ta-lét trong \(\Delta AMQ\) ta có \(\dfrac{{AM}}{{OP}} = \dfrac{{QM}}{{QP}}\)
\( \Rightarrow \dfrac{{AM - OP}}{{OP}} = \dfrac{{QM - QP}}{{QP}}\)
\( \Rightarrow \dfrac{{AM}}{{OP}} - 1 = \dfrac{{MP}}{{QP}} \Rightarrow \dfrac{{AM}}{{OP}} - \dfrac{{MP}}{{QP}} = 1\)
Mà\(MP = OP\) (chứng minh trên) nên \(\dfrac{{AM}}{{MP}} - \dfrac{{MP}}{{QP}} = 1\) (đpcm).
Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
