a) Tìm tất cả các số nguyên \(n\) sao cho \({n^2} + 2\) chia hết cho \(n + 1\).b) Tìm tất cả các cặp

Câu hỏi số 689813:

Vận dụng cao

a) Tìm tất cả các số nguyên \(n\) sao cho \({n^2} + 2\) chia hết cho \(n + 1\).

b) Tìm tất cả các cặp số nguyên dương \((m;n)\) biết rằng hai phương trình \({x^2} - 2mx - 3n = 0\) và \({x^2} - 2nx - 3m = 0\) (với \(x\) là ẩn) đều có nghiệm nguyên.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:689813

Phương pháp giải

a) Tách \({n^2} + 2 = {n^2} - 1 + 3 = \left( {n - 1} \right)\left( {n + 1} \right) + 3\).

b) Tìm \(\Delta '\) của hai phương trình, từ đó để hai phương trình đều có nghiệm nguyên thì \(\Delta '\) của cả hai phương trình phải là số chính phương.

Giải chi tiết

a) Ta có \({n^2} + 2 = {n^2} - 1 + 3 = \left( {n - 1} \right)\left( {n + 1} \right) + 3\).

Vì \({n^2} + 2 \vdots \left( {n + 1} \right)\) mà \(\left( {n - 1} \right)\left( {n + 1} \right) \vdots \left( {n + 1} \right)\)nên \(3 \vdots \left( {n + 1} \right)\)

Suy ra \(n + 1 \in \left\{ { - 3; - 1;1;\left. 3 \right\}} \right.\) \( \Rightarrow n \in \left\{ { - 4; - 2;0;\left. 2 \right\}} \right.\)

b) Phương trình \({x^2} - 2mx - 3n = 0{\rm{ }}\left( 1 \right)\) có \({\Delta _1}^\prime = {m^2} + 3n\).

Phương trình \({x^2} - 2nx - 3m = 0{\rm{ }}\left( 2 \right)\) có \({\Delta _2}^\prime = {n^2} + 3m\).

Vì hai phương trình có nghiệm nguyên nên \({\Delta _1}^\prime \), \({\Delta _2}^\prime \)đều là số chính phương.

Không mất tính tổng quát, giả sử \(m \ge n > 0,\) khi đó \({m^2} < {m^2} + 3n < {\left( {m + 2} \right)^2} \Rightarrow {m^2} + 3n = {\left( {m + 1} \right)^2} \Rightarrow 3n = 2m + 1\).

Do đó \(n\) là số lẻ.

Đặt \(n = 2k + 1\)\( \Rightarrow {\Delta _2}^\prime = 4{k^2} + 13k + 4\).

+) Nếu \(k \in \left\{ {1;2;3;4} \right\}\) thì \({\Delta _2}^\prime \) không là số chính phương.

+) Nếu \(k = 0\)\( \Rightarrow {\Delta _2}^\prime = 4 \Rightarrow m = n = 1\) (thỏa mãn).

+) Nếu \(k = 5\) thì \({\Delta _2}^\prime = 169 \Rightarrow m = 16,n = 11\) (thỏa mãn).

+ Nếu \(k > 5\) thì \({\left( {2k + 3} \right)^2} < 4{k^2} + 13k + 4 < {\left( {2k + 4} \right)^2}\)\( \Rightarrow {\Delta _2}^\prime \) không là số chính phương.

Vậy các bộ số \(\left( {m;n} \right)\) thỏa mãn là: \(\left( {1;1} \right)\), \(\left( {16;11} \right)\), \(\left( {11;16} \right)\).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link