Cho đường tròn tâm O và một điểm A ở ngoài đường tròn đó. Qua điểm A vẽ hai tiếp tuyến
Cho đường tròn tâm O và một điểm A ở ngoài đường tròn đó. Qua điểm A vẽ hai tiếp tuyến AB và AC đến đường tròn (O) (B, C là các tiếp điểm). Gọi H là giao điểm của AO và BC, D là trung điểm của AC, tia BD cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là E.
1) Chứng minh CDEH là một tứ giác nội tiếp.
2) Chứng minh rằng \(D{A^2} = DE.DB\)
3) Gọi F là giao điểm thứ hai của AE với đường tròn (O). Chứng minh OC là đường trung trực của đoạn thẳng BF.
Quảng cáo
1) Chứng minh CDEH là một tứ giác nội tiếp.
Ta có
+) \(AB = AC\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau).
+) \(OB = OC\;\)(bán kính (O)) nên AO là đường trung trực của đoạn thẳng BC.
+) \(\Delta ABC\) có D là trung điểm AC, H là trung điểm BC nên HD là đường trung bình của tam giác ABC, suy ra \(HD//AB\).
Khi đó \(\angle {HDE} = \angle {ABE} = \angle {BCE} = \angle {HCE} = \dfrac{1}{2}\;sd\;\,cung\,BE\)
Do đó, tứ giác CDEH nội tiếp.
2) Chứng minh rằng \(D{A^2} = DE.DB\)
Xét \(\Delta DCE\) và \(\Delta DBC\) ta có
\(\angle {EDC}\;\) chung
\(\angle {DCE} = \angle {DBC} = \dfrac{1}{2}\;sd\;\,cung\,BE\)
Suy ra \(\Delta DCE\)~\(\Delta DBC\) (g-g)
Do đó \(\dfrac{{{\rm{DC}}}}{{{\rm{DB}}}} = \dfrac{{{\rm{DE}}}}{{{\rm{DC}}}}.\) Suy ra \(D{C^2} = DE.DB\)
Mặt khác, do \(DA = DC\) nên \(D{A^2} = DE.DB\)
3) Gọi F là giao điểm thứ hai của AE với đường tròn (O). Chứng minh OC là đường trung trực của đoạn thẳng BF.
Từ \(D{A^2} = DE.DB\) nên ta có \(\dfrac{{DA}}{{DE}} = \dfrac{{DB}}{{DA}}\)
Xét hai tam giác \(DAE\) và tam giác \(DBA\) có
+) \(\angle {EDA}\;\) chung;
+) \(\dfrac{{DA}}{{DE}} = \dfrac{{DB}}{{DA}}\)
Do đó \(\Delta DAE\)~\(\Delta DBA\)
Suy ra \(\angle {EAD\;} = \angle {DBA} = \angle {DFA} = \dfrac{1}{2}sd\,\,cung\,BE\), do đó \(BF//AC.\)
Mà \(OC \bot AC\) nên \(OC \bot BF\).
Mặt khác, \(OF = OB\) (bán kính của (O)) nên OC là đường trung trực của đoạn thẳng BF.
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
