Cho hai số nguyên \(p,q\) thỏa mãn đẳng thức \({p^2} + {q^2} = 2\left( {3pq - 4} \right)\) (*)1)

Câu hỏi số 690464:

Vận dụng

Cho hai số nguyên \(p,q\) thỏa mãn đẳng thức \({p^2} + {q^2} = 2\left( {3pq - 4} \right)\) (*)

1) Chứng minh rằng có ít nhất một trong hai số \(p,q\) là bội của 3

2) Tìm tất cả các cặp số nguyên \(\left( {p,q} \right)\) thỏa (*)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:690464

Phương pháp giải

Giải chi tiết

1) Chứng minh rằng có ít nhất một trong hai số \(p,q\) là bội của 3

Giả sử trong hai số \(p,q\) không có số nào chia hết cho 3.

Khi đó \({p^2},\;{q^2}\) chia 3 dư 1. Suy ra:

+) \({p^2} + {q^2}\;\) chia 3 dư 2;

+) Trong khi vế phải \(2\left( {3pq - 4} \right) = 6pq - 9 + 1\) chia 3 dư 1, vô lý

Do đó tromg hai số \(p,q\) phải có ít nhất một số là bội của 3.

2) Tìm tất cả các cặp số nguyên \(\left( {p,q} \right)\) thỏa (*)

Do vai trò của \(p,q\) như nhau, không mất tính tổng quát, giả sử \(q\) là bội của 3.

Do \(q\) nguyên tố nên \(q = 3\)

Khi đó từ (*) ta có \({p^2} + 9 = 2\left( {2p - 4} \right) \Leftrightarrow {p^2} - 18p + 17 = 0 \Leftrightarrow p = 1\) hoặc \(p = 17\)

Do \(p\) nguyên tố nên \(p = 17.\)

Vậy các cặp số \(\left( {p;q} \right)\) thỏa mãn (*) là \(\left( {p;q} \right) \in \left\{ {\left( {17;3} \right);\left( {3;17} \right)} \right\}.\)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link