1) Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho parabol \((P):y = {x^2}\) và đường thẳng \((d):y = 2x - m - 2\).

Câu hỏi số 690471:

Vận dụng

1) Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho parabol \((P):y = {x^2}\) và đường thẳng \((d):y = 2x - m - 2\). Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để \((d)\) cắt \((P)\) tại hai điểm phân biệt lần lượt có hoành độ \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn \(x_1^2 + 1 = 2{x_2}\).

2) Giải phương trình \({x^2} = x + 2 + 2\sqrt {x + 1} \).

3) Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x(x + 1)(x + 3y) = 20\\{x^2} + 2x + 3y = 12\end{array} \right.\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:690471

Phương pháp giải

1) Áp dụng hệ thức vi-ét.

2) Ta có \({{\rm{x}}^2} = x + 2 + 2\sqrt {x + 1} \Leftrightarrow {x^2} = {\left( {\sqrt {x + 1} + 1} \right)^2}\). Từ đó chia hai trường hợp.

3) Giải hệ phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ.

Giải chi tiết

1) Xét phương trình hoành độ giao điểm \({x^2} - 2x + m + 2 = 0\).

Ta có \(\Delta ' = - 1 - m\). Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi \(\Delta ' > 0 \Leftrightarrow - 1 - m > 0 \Leftrightarrow m < - 1\) \(\left( * \right)\).

Theo định lý Vi-et ta được \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\{x_1}.{x_2} = m + 2\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

Từ giả thiết \(x_1^2 + 1 = 2{x_2}\) và \(\left( 1 \right)\) ta được \(x_1^2 + 2{x_1} - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_1} = - 3 \Rightarrow {x_2} = 5\\{x_1} = 1\,\,\,\,\, \Rightarrow {x_2} = 1\,\end{array} \right.\)

Thay vào (2) ta có \(m = - 17\) (thoả mãn), \(m = - 1\) (không thoả mãn).

2) Ta có \({{\rm{x}}^2} = x + 2 + 2\sqrt {x + 1} \Leftrightarrow {x^2} = {\left( {\sqrt {x + 1} + 1} \right)^2}\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \sqrt {x + 1} + 1{\rm{ }}(1)\\x = - \sqrt {x + 1} - 1\,\,\,(2)\end{array} \right.\)

\((1) \Leftrightarrow \sqrt {x + 1} = x - 1 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\\{x^2} - 3x = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 3\)

\((2) \Leftrightarrow \sqrt {x + 1} = - x - 1 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le - 1\\{x^2} + x = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x = - 1\)

Vậy nghiệm của phương trình là \(x = 3,x = - 1\)

3) Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}x\left( {x + 1} \right)\left( {x + 3y} \right) = 20\\{x^2} + 2x + 3y = 12\end{array} \right. \Leftrightarrow \)\(\left\{ \begin{array}{l}\left( {{x^2} + x} \right)\left( {x + 3y} \right) = 20\\{x^2} + 2x + 3y = 12\end{array} \right.\)

Đặt \(u = {x^2} + x\) và \(v = x + 3y\). Hệ phương trình trở thành \(\left\{ \begin{array}{l}uv = 20\\u + v = 12\end{array} \right.\)

Suy ra \(u,\,v\) là hai nghiệm của phương trình \({t^2} - 12t + 20 = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 10\\t = 2\end{array} \right.\)

Ta được \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + x = 10\\x + 3y = 2\end{array} \right.\) (I) hoặc \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + x = 2\\x + 3y = 10\end{array} \right.\) (II)

Giải (I)

Ta có: \({x^2} + x = 10\)\( \Leftrightarrow {x^2} + x - 10 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{{ - 1 + \sqrt {41} }}{2} \Rightarrow y = \dfrac{{5 - \sqrt {41} }}{6}\\x = \dfrac{{ - 1 - \sqrt {41} }}{2} \Rightarrow y = \dfrac{{5 + \sqrt {41} }}{6}\end{array} \right.\)

Giải (II)

Ta có: \({x^2} + x = 2\)\( \Leftrightarrow {x^2} + x - 2 = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1 \Rightarrow y = 3\\x = - 2 \Rightarrow y = 4\end{array} \right.\)

Vậy các nghiệm của hệ là \((1;3),( - 2;4),(\dfrac{{ - 1 - \sqrt {41} }}{2};\dfrac{{5 + \sqrt {41} }}{6}),(\dfrac{{ - 1 + \sqrt {41} }}{2};\dfrac{{5 - \sqrt {41} }}{6})\).

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link