Cho hàm số $y = {(x + m)^3} - 3\left( {x + m} \right) + 1 + n$. Biết hàm số nghịch biến

Câu hỏi số 693296:

Vận dụng

Cho hàm số $y = {(x + m)^3} - 3\left( {x + m} \right) + 1 + n$. Biết hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( {0;2} \right)$ và giá trị lớn nhất của hàm số trên $\left[ { - 1;1} \right]$ bằng 4 . Tính $m + n$

A. $m + n = 0$.

B. $m + n = 2$.

C. $m + n = - 1$.

D. $m + n = 1$.

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:693296

Phương pháp giải

Để hàm số nghịch biến trên $(0 ; 2)$ thì $x_1 \leq 0<2 \leq x_2$ hay $\left\{\begin{array}{l}3 \cdot y^{\prime}(0) \leq 0 \\ 3 \cdot y^{\prime}(2) \leq 0\end{array}\right.$

Giải chi tiết

Ta có $: y^{\prime}=3(x+m)^2-3=3(x+m+1)(x+m-1)$

$y^{\prime}=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=1-m=x_2 \\ x=-1-m=x_1\end{array}\right.$

Để hàm số nghịch biến trên $(0 ; 2)$ thì $x_1 \leq 0<2 \leq x_2$ hay

$\left\{\begin{array}{l}3 . y^{\prime}(0) \leq 0 \\ 3 . y^{\prime}(2) \leq 0\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}y^{\prime}(0) \leq 0 \\ y^{\prime}(2) \leq 0\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}3 m^2-3 \leq 0 \\ 3(2+m)^2-3 \leq 0\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}m^2-1 \leq 0 \\ (2+m)^2-1 \leq 0\end{array}\right.\right.\right.\right.$

$\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}-1 \leq m \leq 1 \\ -1 \leq 2+m \leq 1\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}-1 \leq m \leq 1 \\ -3 \leq m \leq-1\end{array} \Leftrightarrow m=-1(1)\right.\right.$

Với $m=-1$ thì $y^{\prime}=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=0 \in[-1 ; 1] \\ x=2 \notin[-1 ; 1]\end{array}\right.$

Ta có $y(0)=n+3, y(1)=n+1, y(-1)=n-1 \Rightarrow \max _{[-1 ; 1]} y=n+3=4 \Rightarrow n=1(2)$

Từ (1) vào (2) $\Rightarrow m+n=0$.

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.