Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = {x^3} + a{x^2} + bx + c\) có đồ thị là đường cong

Câu hỏi số 693302:

Vận dụng

Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = {x^3} + a{x^2} + bx + c\) có đồ thị là đường cong \(\left( C \right)\) và đường thẳng \(d:y = g\left( x \right)\) là tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại điểm có hoành độ \(x = - 1\). Biết rằng diện tích hình phẳng giới hạn bởi \(\left( C \right)\) và \(d\) bằng 108 . Giao điểm thứ hai của đường cong \(\left( C \right)\) và đường thẳng \(d\) có hoành độ \(m > 0\). Giá trị của \(m\) thuộc khoảng nào sau đây?

A. \(\left( {1;3} \right)\).

B. \(\left( {7;9} \right)\).

C. \(\left( {10;12} \right)\).

D. \(\left( {4;6} \right)\).

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:693302

Phương pháp giải

Hàm số đã cho là \(f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c\).

Viết phương trình tiếp tuyến của \((C)\) tại \(x = -1\); lập hàm hiệu \(h(x) = f(x) - g(x)\).

Vì \(d\) là tiếp tuyến tại \(x=-1\), nên \(x=-1\) là nghiệm kép của phương trình \(h(x)=0\).

Vì \(x=-1\) là nghiệm kép của \(h(x)=0\) và \(m\) là nghiệm đơn, nên \(h(x)\) có dạng: \(h(x) = (x - (-1))^2 (x - m) = (x+1)^2 (x-m)\).

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi \((C)\) và \(d\) là \(S = \int_{x_1}^{x_2} |h(x)| dx\), với \(x_1, x_2\) là các hoành độ giao điểm.

Khi đó, \(S = \int_{-1}^{m} (x+1)^2 (x-m) dx = 108\).

Công thức nhanh cho diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm bậc ba \(y = A(x-\alpha)^2 (x-\beta)\) và trục hoành là \(|A| \dfrac{|\beta-\alpha|^4}{12}\).

Giải chi tiết

Gọi hàm số đã cho là \(f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c\).

Đường thẳng \(d\) là tiếp tuyến của \((C)\) tại điểm có hoành độ \(x = -1\).

Gọi \(g(x)\) là phương trình đường thẳng \(d\).

Ta xét hàm hiệu \(h(x) = f(x) - g(x)\).

Vì \(d\) là tiếp tuyến của \((C)\) tại \(x = -1\), nên \(x = -1\) là nghiệm kép của phương trình \(h(x) = 0\).

Ngoài ra, \(m\) là hoành độ giao điểm thứ hai của \((C)\) và \(d\), nên \(x=m\) là nghiệm đơn của \(h(x)=0\).

Vì \(f(x)\) là hàm bậc 3 với hệ số của \(x^3\) là 1, và \(g(x)\) là hàm bậc nhất, nên \(h(x)\) cũng là hàm bậc 3 với hệ số của \(x^3\) là 1.

Do đó, ta có thể viết \(h(x)\) dưới dạng: \(h(x) = (x - (-1))^2 (x - m) = (x+1)^2 (x-m)\).

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi \((C)\) và \(d\) là \(S = \int_{-1}^{m} |h(x)| dx\).

Vì \(m > 0\), và tại \(x=-1\) là tiếp điểm, \(x=m\) là giao điểm còn lại, nên ta giả sử \(m > -1\).

Trong khoảng \((-1, m)\), dấu của \(h(x) = (x+1)^2(x-m)\) sẽ phụ thuộc vào \((x-m)\).

Vì \(x < m\), nên \(x-m < 0\). Do đó, \(h(x) < 0\) trên khoảng \((-1, m)\).

Vậy \(S = \int_{-1}^{m} -(x+1)^2 (x-m) dx = \int_{-1}^{m} (x+1)^2 (m-x) dx\).

Sử dụng công thức diện tích hình phẳng giữa đồ thị hàm bậc ba và tiếp tuyến của nó:

Nếu hàm số \(y = A(x-\alpha)^2(x-\beta)\), thì diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị và trục hoành là \(|A|\dfrac{|\beta-\alpha|^4}{12}\).

Trong trường hợp này, \(A=1\), \(\alpha=-1\) (nghiệm kép), \(\beta=m\) (nghiệm đơn).

Diện tích \(S = \dfrac{|m - (-1)|^4}{12} = \dfrac{(m+1)^4}{12}\).

Theo đề bài, \(S = 108\).

\(\dfrac{(m+1)^4}{12} = 108\)

Suy ra \(m+1 = \pm \sqrt[4]{1296}\)

Vậy \(m+1 = 6\) hoặc \(m+1 = -6\).

Trường hợp 1: \(m+1 = 6 \Rightarrow m = 5\).

Trường hợp 2: \(m+1 = -6 \Rightarrow m = -7\) (loại).

Vậy \(m=5\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.