Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm \(A\left( {1;1;1} \right),B\left(

Câu hỏi số 695348:

Vận dụng

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $A\left( {1;1;1} \right),B\left( {2;2;1} \right)$ và mặt phẳng $\left( P \right):x + y + 2z = 0$. Mặt cầu $\left( S \right)$ thay đổi qua hai điểm $A,B$ và tiếp xúc với mặt phẳng $\left( P \right)$ tại $H$. Biết $H$ chạy trên một đường tròn tâm $K$ cố định. Tìm bán kính của mặt cầu $\left( S \right)$ khi $OH$ đạt giá trị lớn nhất.

A. $2\sqrt 3 $.

B. $\dfrac{{9\sqrt 6 }}{2}$.

C. $\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}$.

D. $\dfrac{{2\sqrt 6 }}{3}$.

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:695348

Phương pháp giải

Gọi K là giao điểm của AB và mặt phẳng (P). Tính độ dài KP từ đó suy ra P luôn thuộc đường tròn cố định tâm K. Từ đó tính OH max

Giải chi tiết

Ta có $\overrightarrow{A B}(1 ; 1 ; 0)$ nên $A B:\left\{\begin{array}{l}x=1+t \\ y=1+t \\ z=1 .\end{array}\right.$

$A B \cap(P) \Rightarrow(1+t)+(1+t)+2 \cdot 1=0 \Leftrightarrow t=-2 \Rightarrow K(-1 ;-1 ; 1)$.

Khi đó $K H^2=K A \cdot K B=\sqrt{2^2+2^2} \cdot \sqrt{3^2+3^2}=12$ suy ra $K H=2 \sqrt{3}$.

Suy ra trên mặt phẳng $(P), H$ thuộc đường đường tròn tâm $K$, bán kính $R=2 \sqrt{3}$.

Ta có $O K=\sqrt{3}$ nên $O H$ đạt giá trị lớn nhất khi $\overrightarrow{K H}=-2 \overrightarrow{K O} \Rightarrow H(-3 ;-3 ; 3)$.

Gọi $\Delta$ là đường thẳng qua $H$ và vuông góc với $(P)$ suy ra $\Delta:\left\{\begin{array}{l}x=-3+t \\ y=-3+t \\ z=3+2 t\end{array}\right.$.

Gọi $I(-3+t ;-3+t ; 3+2 t) \in \Delta$ là tâm của mặt cầu $(S)$.

Suy ra $I A=I B \Leftrightarrow(-4+t)^2+(-4+t)^2+(2+2 t)^2=(-5+t)^2+(-5+t)^2+(2+2 t)^2 \Leftrightarrow t=\frac{9}{2}$.

Vậy $R=I A=\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2+\left(\frac{1}{2}\right)^2+11^2}=\frac{9 \sqrt{6}}{2}$.

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.