Có bao nhiêu số nguyên \(m\) để hàm số \(f\left( x \right) = 3x + m\sqrt {{x^2} + 1}

Câu hỏi số 695440:

Vận dụng

Có bao nhiêu số nguyên \(m\) để hàm số \(f\left( x \right) = 3x + m\sqrt {{x^2} + 1} \) đồng biến trên \(\mathbb{R}\) ?

A. 5 .

B. 1 .

C. 7 .

D. 2 .

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:695440

Phương pháp giải

Tính \(f^{\prime}(x), f^{\prime \prime}(x)\)
Xét dấu \(m\) :
- \(m>0 \Rightarrow f^{\prime \prime}(x)>0 \Rightarrow f^{\prime}(x)\) tăng.
- \(m<0 \Rightarrow f^{\prime \prime}(x)<0 \Rightarrow f^{\prime}(x)\) giảm.
- \(m=0 \Rightarrow f(x)=3 x\) đồng biến.

Giải chi tiết

Ta có \(f(x)=3 x+m \sqrt{x^2+1} \Rightarrow f^{\prime}(x)=3+\dfrac{m x}{\sqrt{x^2+1}} \Rightarrow f^{\prime \prime}(x)=\dfrac{m}{\left(\sqrt{x^2+1}\right)^3}\).
Ta có: \(\lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)=m+3, \lim _{x \rightarrow-\infty} f^{\prime}(x)=-m+3\).
Trường hợp 1: \(m>0\), khi đó \(f^{\prime \prime}(x)>0, \forall x \in \mathbb{R} \Rightarrow f^{\prime}(x)\) đông biến trên \(\mathbb{R}\).
Hàm số \(f(x)\) đông biến trên \(\Leftrightarrow f^{\prime}(x) \geq 0 \forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow-m+3 \geq 0 \Leftrightarrow m \leq 3\).
So điều kiện: \(0<m \leq 3\).
Trường hợp 2: \(m<0\), khi đó \(f^{\prime \prime}(x)<0, \forall x \in \mathbb{R} \Rightarrow f^{\prime}(x)\) nghịch biến trên \(\mathbb{R}\).
Hàm số \(f(x)\) đông biến trên \(\Leftrightarrow f^{\prime}(x) \geq 0 \forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow m+3 \geq 0 \Leftrightarrow m \geq-3\).
So điều kiện: \(-3 \leq m<0\).
Trường hợp 3: \(m=0\), khi đó \(f(x)=3 x\), hiển nhiên hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\).
Vậy hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R} \Leftrightarrow-3 \leq x \leq 3\).

Có 7 giá trị nguyên của m thoả mãn.

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.