Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho mặt phẳng \(\left( P \right)\) có phương

Câu hỏi số 697888:

Vận dụng

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho mặt phẳng \(\left( P \right)\) có phương trình \(x - y + 2z - 1 = 0\). Đường thẳng \({\rm{\Delta }}\) nằm trong \(\left( P \right)\), vuông góc đồng thời cắt trục tung có phương trình là

A. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2t}\\{y = 1}\\{z = t}\end{array}} \right.\).

B. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - 2t}\\{y = 1}\\{z = t}\end{array}} \right.\).

C. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2t}\\{y = - 1.}\\{z = t}\end{array}} \right.\)

D. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - 2t}\\{y = - 1}\\{z = t}\end{array}} \right.\).

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:697888

Phương pháp giải

Xác định điểm M thuộc đường thẳng \(\Delta\) là giao điểm của \(Delta\) và Oy, thay toạ độ điểm M vào phương trình mặt phẳng (P) để tính toạ độ.

Xác định VTCP của \(\Delta\):

VTCP của \(\Delta\) vuông góc với véctơ pháp tuyến VTPT của \((P)\) vì \({\rm{\Delta }}\) nằm trong \(\left( P \right)\).
Lại có \(\Delta \perp Oy\), nên \(\vec{u_\Delta} \cdot \vec{j} = 0\)

Viết phương trình đường thẳng khi biết VTCP và một điểm thuộc đường thẳng.

Giải chi tiết

Gọi điểm giao của \(\Delta\) và \(Oy\) là \(M\).

Vì \(M \in Oy\) nên tọa độ của \(M(0; y_M; 0)\).

Đường thẳng \(\Delta\) nằm trong mặt phẳng \((P): x - y + 2z - 1 = 0\) suy ra \(M\) cũng phải nằm trong mặt phẳng \((P)\).

Thay tọa độ \(M\) vào phương trình mặt phẳng \((P)\):

\(0 - y_M + 2(0) - 1 = 0 \Rightarrow y_M = -1\)

Vậy đường thẳng \(\Delta\) đi qua \(M(0; -1; 0)\).

Gọi véctơ chỉ phương của đường thẳng \(\Delta\) là \(\vec{u_\Delta} = (u_1; u_2; u_3)\).

Có vectơ chỉ phương của \(\Delta\) phải vuông góc với véctơ pháp tuyến của \((P)\), \(\vec{n_P} = (1; -1; 2)\).

Suy ra \(\vec{u_\Delta} \cdot \vec{n_P} = 0\) hay \(u_1 - u_2 + 2u_3 = 0\) (1)

Vì \(\Delta \perp Oy\), nên \(\vec{u_\Delta} \cdot \vec{j} = 0\) hay \(u_1(0) + u_2(1) + u_3(0) = 0\) \(u_2 = 0\) (2)

Thay (2) vào (1): \(u_1 = -2u_3\)

Chọn \(u_3 = 1\): Thì \(u_1 = -2(1) = -2\).

Vậy, véctơ chỉ phương của đường thẳng \(\Delta\) là \(\vec{u_\Delta} = (-2; 0; 1)\).

Đường thẳng \(\Delta\) đi qua điểm \(M(0; -1; 0)\) và có véctơ chỉ phương \(\vec{u_\Delta} = (-2; 0; 1)\).

Phương trình đường thẳng \(\Delta\) là: \(\left\{ \begin{array}{l} x = 0 - 2t \\ y = -1 + 0t \\ z = 0 + 1t \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = -2t \\ y = -1 \\ z = t \end{array} \right.\)

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.