Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f'\left( x \right) = \left( {3 - x}

Câu hỏi số 699267:

Vận dụng

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f'\left( x \right) = \left( {3 - x} \right)\left( {x - a} \right)\) với \(a \in \mathbb{R}\). Tất cả giá trị củaa \(a\) để hàm số đã cho đạt cực đại tại điểm \(x = 3\) là

A. \(a < 3\).

B. \(a \le 3\).

C. \(a > 3\).

D. \(a \ge 3\).

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:699267

Phương pháp giải

Điều kiện cần: Hàm số đạt cực đại tại \(x=3\) thì \(f'(3) = 0\).

Điều kiện đủ: Dấu của \(f'(x)\) phải đổi từ dương sang âm khi \(x\) đi qua \(3\). Tức là:

+) \(f'(x) > 0\) khi \(x < 3\).

+) \(f'(x) < 0\) khi \(x > 3\).

Dựa vào biểu thức \(f'(x) = (3 - x)(x - a)\) để phân tích các trường hợp của \(a\).

Giải chi tiết

Để hàm số đạt cực đại tại \(x = 3\), thì \(f'(3)=0\).

\(f'(3) = (3 - 3)(3 - a) = 0 \cdot (3 - a) = 0\) (luôn đúng)

Xét dấu của \(f'(x)\)): Để \(x = 3\) là điểm cực đại, dấu của \(f'(x)\) phải đổi từ dương sang âm khi \(x\) qua \(3\).

Ta có \(f'(x) = (3 - x)(x - a)=0 \Leftrightarrow x = 3\) và \(x = a\).

Ta xét các trường hợp của \(a\) so với \(3\):

+) Trường hợp \(a = 3\): \(f'(x) = (3 - x)(x - 3) = -(x - 3)(x - 3) = -(x - 3)^2\).

Dấu của \(f'(x)\) không đổi từ dương sang âm khi \(x\) qua \(3\).

Do đó, hàm số không đạt cực đại tại \(x = 3\).

+) Trường hợp \(a < 3\):

Khi \(x\) đi qua \(a\), dấu của \(f'(x)\) đổi từ âm sang dương (hàm số đạt cực tiểu tại \(x=a\)).

Khi \(x\) đi qua \(3\), dấu của \(f'(x)\) đổi từ dương sang âm (hàm số đạt cực đại tại \(x=3\))

Vậy giá trị của \(a\) để hàm số đã cho đạt cực đại tại điểm \(x = 3\) là \(a < 3\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.