Trong không gian cho điểm A và ba mặt phẳng đôi một vuông góc \(\left( {{{\rm{P}}_1}} \right),\left(

Câu hỏi số 702179:

Vận dụng

Trong không gian cho điểm A và ba mặt phẳng đôi một vuông góc \(\left( {{{\rm{P}}_1}} \right),\left( {{{\rm{P}}_2}} \right)\) và \(\left( {{{\rm{P}}_3}} \right)\) giao nhau tại \({\rm{O}}\). Gọi \({{\rm{A}}_1},\;{{\rm{A}}_2},\;{{\rm{A}}_3}\) lần lượt là hình chiếu vuông góc của \(A\) trên các mặt phẳng \(\left( {{{\rm{P}}_1}} \right),\left( {{{\rm{P}}_2}} \right)\) và \(\left( {{{\rm{P}}_3}} \right)\). Gọi \({\rm{M}},{\rm{N}},{\rm{P}}\) lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ \({\rm{A}}\) xuống các giao tuyến của \(\left( {{{\rm{P}}_1}} \right)\) và \(\left( {{{\rm{P}}_2}} \right),\left( {{{\rm{P}}_2}} \right)\) và ( \(\left. {{{\rm{P}}_3}} \right)\), \(\left( {{P_3}} \right)\) và \(\left( {{P_1}} \right)\).

a) Chứng minh \({\rm{O}}{{\rm{A}}^2} = {\rm{O}}{{\rm{M}}^2} + {\rm{O}}{{\rm{N}}^2} + {\rm{O}}{{\rm{P}}^2}\).

b) Áp dụng ý a để chứng minh \(OA = \sqrt {\dfrac{{OA_1^2 + OA_2^2 + OA_3^2}}{2}} \).

Sử dụng kết quả trên để tính độ dài của một đoạn thẳng mà ba hình chiếu có độ dài lần lượt là \(1\;{\rm{cm}},2\;{\rm{cm}}\) và \(3\;{\rm{cm}}\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:702179

Giải chi tiết

a) Áp dụng định lí Pythagore cho các tam giác vuông.

Tam giác O M A vuông tại \({\rm{M}}\) có: \({\rm{O}}{{\rm{A}}^2} = {\rm{O}}{{\rm{M}}^2} + {\rm{A}}{{\rm{M}}^2}\) (1)

Tam giác ONA vuông tại \(N\) có: \({\rm{O}}{{\rm{A}}^2} = {\rm{O}}{{\rm{N}}^2} + {\rm{A}}{{\rm{N}}^2}\) (2)

Tam giác \({\rm{OPA}}\) vuông tại \({\rm{P}}\) có: \({\rm{O}}{{\rm{A}}^2} = {\rm{O}}{{\rm{P}}^2} + {\rm{A}}{{\rm{P}}^2}(3)\)

Cộng vế theo vế của (1), (2), (3) ta được:

\(3O{A^2} = \left( {O{M^2} + O{N^2} + {\rm{O}}{{\rm{P}}^2}} \right) + \left( {{\rm{A}}{{\rm{M}}^2} + {\rm{A}}{{\rm{N}}^2} + {\rm{A}}{{\rm{P}}^2}} \right)\)

Ta chứng minh được: \({\rm{A}}{{\rm{M}}^2} + {\rm{A}}{{\rm{N}}^2} + {\rm{A}}{{\rm{P}}^2} = 2{\rm{O}}{{\rm{A}}^2}\). (4)

Suy ra: \(O{A^2} = O{M^2} + O{N^2} + O{P^2}\).

b) Vi AM vuông góc \(OM,OM//A{A_3}\) nên AM vuông góc \(A{A_3}\)

Mà \({\rm{A}}{{\rm{A}}_3}\) vuông góc với \({\rm{O}}{{\rm{A}}_3}\)

Suy ra: \({\rm{AM}}//{\rm{O}}{{\rm{A}}_3}\) và \({\rm{A}}{{\rm{A}}_3}//{\rm{OM}}\) nên \({\rm{AMO}}{{\rm{A}}_3}\) là hình bình hành.

Do đó: \({\rm{AM}} = {\rm{O}}{{\rm{A}}_3}\).

Chứng minh tương tự ta được: \({\rm{AN}} = {\rm{O}}{{\rm{A}}_1},{\rm{AP}} = {\rm{O}}{{\rm{A}}_2}\).

Thay kết quả trên vào (4) ta được: \(OA_3^2 + OA_2^2 + OA_1^2 = 2O{A_2}\).

Suy ra \(OA = \sqrt {\dfrac{{OA_1^2 + OA_2^2 + OA_3^2}}{2}} \).

Ba hình chiếu có độ dài lần lượt là \(1\;{\rm{cm}},2\;{\rm{cm}}\) và \(3\;{\rm{cm}}\).

Thay số vào kết quả trên ta được: \(OA = \sqrt {\dfrac{{{1^2} + {2^2} + {3^2}}}{2}} = \sqrt 7 (\;{\rm{cm}})\).

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.