Cho hình tứ diện \(ABCD\) có các mặt \(ABC,DBC\) là các tam giác đều
Cho hình tứ diện \(ABCD\) có các mặt \(ABC,DBC\) là các tam giác đều cạnh bằng 1 và \(AD = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\). Khoảng cách từ \(B\) đến mặt phẳng \(\left( {ACD} \right)\) bằng
Đáp án đúng là: B
Quảng cáo
Sử dụng thể tích để tính khoảng cách $V_{A B C D}=V_{B . A M D}+V_{C . A M D}=\dfrac{1}{3}\left(B C . S_{A M D}\right)$ với M là trung điểm của BC và $V_{A B C D}=\dfrac{1}{3} S_{\triangle A C D} \cdot d(B,(A C D))$
Từ đó tính $d(B,(ACD)) = \dfrac{{3{V_{ABCD}}}}{{{S_{\Delta ACD}}}}$
Gọi $M$ là trung điểm của $B C$.
$\triangle A B C$ đều $\Rightarrow A M \perp B C$ và $A M=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
$\triangle D B C$ đều $\Rightarrow D M \perp B C \Rightarrow B C \perp(A M D)$ và $D M=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
$\Rightarrow \triangle A M D$ đều cạnh bằng $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
$V_{A B C D}=V_{B . A M D}+V_{C . A M D}=\dfrac{1}{3}\left(B C . S_{A M D}\right)=\dfrac{1}{3}\left(1 \cdot \dfrac{\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 \sqrt{3}}{4}\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{16}$.
Mặt khác $V_{A B C D}=\dfrac{1}{3} S_{\triangle A C D} \cdot d(B,(A C D)) \Rightarrow d(B,(A C D))=\dfrac{3 V_{A B C D}}{S_{\triangle A C D}}$.
Xét $\triangle A C D$ có $A C=D C=1$. Gọi $N$ là trung điểm của $A D \Rightarrow C N \perp A D$.
Xét $\triangle A C N$ vuông tại $N \Rightarrow C N=\sqrt{A C^2-A N^2}=\sqrt{1^2-\left(\dfrac{\sqrt{3}}{4}\right)^2}=\dfrac{\sqrt{13}}{4}$.
\(\begin{array}{l}{S_{\Delta ACD}} = \dfrac{1}{2}AD \cdot CN = \dfrac{1}{2}\dfrac{{\sqrt 3 }}{2} \cdot \dfrac{{\sqrt {13} }}{4} = \dfrac{{\sqrt {39} }}{{16}}\\ \Rightarrow d(B,(ACD)) = \dfrac{{3{V_{ABCD}}}}{{{S_{\Delta ACD}}}} = \dfrac{{3\sqrt 3 }}{{16}} \cdot \dfrac{{16}}{{\sqrt {39} }} = \dfrac{3}{{\sqrt {13} }}\end{array}\)
Đáp án cần chọn là: B
Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> Học trực tuyến Lớp 11 cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
