Cho hình tứ diện $ABCD$ có các mặt $ABC,DBC$ là các tam giác đều

Câu hỏi số 702915:

Vận dụng

Cho hình tứ diện $ABCD$ có các mặt $ABC,DBC$ là các tam giác đều cạnh bằng 1 và $AD = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}$. Khoảng cách từ $B$ đến mặt phẳng $\left( {ACD} \right)$ bằng

A. $\dfrac{4}{{\sqrt {13} }}$.

B. $\dfrac{3}{{\sqrt {13} }}$.

C. $\dfrac{2}{{\sqrt {13} }}$.

D. $\dfrac{1}{{\sqrt {13} }}$.

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:702915

Phương pháp giải

Sử dụng thể tích để tính khoảng cách $V_{A B C D}=V_{B . A M D}+V_{C . A M D}=\dfrac{1}{3}\left(B C . S_{A M D}\right)$ với M là trung điểm của BC và $V_{A B C D}=\dfrac{1}{3} S_{\triangle A C D} \cdot d(B,(A C D))$

Từ đó tính $d(B,(ACD)) = \dfrac{{3{V_{ABCD}}}}{{{S_{\Delta ACD}}}}$

Giải chi tiết

Gọi $M$ là trung điểm của $B C$.

$\triangle A B C$ đều $\Rightarrow A M \perp B C$ và $A M=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.

$\triangle D B C$ đều $\Rightarrow D M \perp B C \Rightarrow B C \perp(A M D)$ và $D M=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.

$\Rightarrow \triangle A M D$ đều cạnh bằng $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.

$V_{A B C D}=V_{B . A M D}+V_{C . A M D}=\dfrac{1}{3}\left(B C . S_{A M D}\right)=\dfrac{1}{3}\left(1 \cdot \dfrac{\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 \sqrt{3}}{4}\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{16}$.

Mặt khác $V_{A B C D}=\dfrac{1}{3} S_{\triangle A C D} \cdot d(B,(A C D)) \Rightarrow d(B,(A C D))=\dfrac{3 V_{A B C D}}{S_{\triangle A C D}}$.

Xét $\triangle A C D$ có $A C=D C=1$. Gọi $N$ là trung điểm của $A D \Rightarrow C N \perp A D$.

Xét $\triangle A C N$ vuông tại $N \Rightarrow C N=\sqrt{A C^2-A N^2}=\sqrt{1^2-\left(\dfrac{\sqrt{3}}{4}\right)^2}=\dfrac{\sqrt{13}}{4}$.

$\begin{array}{l}{S_{\Delta ACD}} = \dfrac{1}{2}AD \cdot CN = \dfrac{1}{2}\dfrac{{\sqrt 3 }}{2} \cdot \dfrac{{\sqrt {13} }}{4} = \dfrac{{\sqrt {39} }}{{16}}\\ \Rightarrow d(B,(ACD)) = \dfrac{{3{V_{ABCD}}}}{{{S_{\Delta ACD}}}} = \dfrac{{3\sqrt 3 }}{{16}} \cdot \dfrac{{16}}{{\sqrt {39} }} = \dfrac{3}{{\sqrt {13} }}\end{array}$

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.