Giải hệ phương trình:

Trang chủ

Luyện thi đại học môn toán

Phương trình, Bất PT và hệ PT mũ và lôgarit

Câu hỏi số 72078:

$\left\{\begin{matrix} \sqrt{(x-1)^{2}+5}.log_{3}(6-y)=x & \\ \sqrt{(y-1)^{2}+5}.log_{3}(6-x)=y & \end{matrix}\right.$

A. (x;y) =(1;1)

B. (x;y)=(2;2)

C. (x;y)= (3;3)

D. (x;y)= (4:4)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:72078

Giải chi tiết

ĐK x,y < 6

Hệ đã cho tương đương với $\left\{\begin{matrix} log_{3}(6-y)=\frac{x}{\sqrt{(x-1)^{2}+5}} & \\ log_{3}(6-x)=\frac{y}{\sqrt{(y-1)^{2}+5}} & \end{matrix}\right.$

=> $\frac{x}{\sqrt{(x-1)^{2}}+5}-log_{3}(6-x) =\frac{y}{\sqrt{(y-1)^{2}} +5}-log_{3}(6-y)$

Hay f(x) = f(y) trong đó f(t) = $\frac{t}{\sqrt{(t-1)^{2}+5}}-log_{3}(6-t),t\epsilon (-\infty ;6)$

Ta có: $f'(t)=\frac{6-t}{(t^{2}-2y+6)\sqrt{(t-1)^{2}+5}}+\frac{1}{(6-t)ln3} > 0$ , $\forall t\epsilon (-\infty ;6)$

Nên đây là 1 hàm đồng biến => x = y

Do đó: $\frac{x}{\sqrt{(x-1)^{2}+5}}=log_{3}( 6-x)$

<=> $\frac{x}{\sqrt{(x-1)^{2}}+5}-log_{3}(6-x)=0$

Theo chưng minh trên vế trái là một hàm số đồng biến, mà x = 3 là 1 nghiệm của pt

nên nó là nghiệm duy nhất

Vậy hệ phương trình có nghiệm là (x;y)= (3;3)

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.