Cho parabol \(\left( P \right):y = {x^2}\) và đường thẳng \(\left( d \right):y = mx - m + 2,m\) là tham số.a)

Câu hỏi số 721536:

Vận dụng

Cho parabol \(\left( P \right):y = {x^2}\) và đường thẳng \(\left( d \right):y = mx - m + 2,m\) là tham số.

a) Vẽ (\(P\)).

b) Chứng minh rằng \(\left( d \right)\) và \(\left( P \right)\) luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt với mọi giá trị \(m\).

c) Gọi \({x_1},{x_2}\) là hoành độ các giao điểm của \(\left( d \right)\) và \(\left( P \right)\). Tìm \(m\) để \({x_1},{x_2}\) là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông có độ dài đường cao ứng với cạnh huyền bằng \(\dfrac{{\sqrt 7 }}{7}\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:721536

Phương pháp giải

a) Cho bảng giá trị và vẽ đồ thị hàm số.

b) Xét phương trình hoành độ giao điểm.

b) Áp dụng hệ thức vi-ét và hệ thức lượng trong tam giác vuông.

Giải chi tiết

a) Cách vẽ:

Ta có bảng sau:

Vẽ đồ thị hàm số:

- Trên mặt phẳng tọa độ lấy các điểm \((0;0),\,\,( - 1;1),\,\,(1;1),\,\,( - 2;4),\,\,(2;4)\)

- Nối các điểm theo 1 đường cong ta được parabol \(\left( P \right):y = {x^2}\)

- Đồ thị hàm số \(\left( P \right):y = {x^2}\) nằm phía trên trục \(Ox\) và nhận \(Oy\) làm trục đối xứng.

b) Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) là:

\({x^2} = mx - m + 2 \Leftrightarrow {x^2} - mx + m - 2 = 0\).

\(\begin{array}{l}\Delta = {b^2} - 4ac = {\left( { - m} \right)^2} - 4\left( {m - 2} \right)\\ = {m^2} - 4m + 8\\ = {m^2} - 4m + 4 + 4\\ = {\left( {m - 2} \right)^2} + 4 \ge 4\,\forall m \in \mathbb{R}\end{array}\)

Suy ra phương trình \({x^2} - mx + m - 2 = 0\) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.

Vậy (d) và (P) luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt với mọi giá trị m.

c) Phương trình \({x^2} - mx + m - 2 = 0\)có hai nghiệm với mọi giá trị của m nên áp dụng định lý Vi-et, ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \dfrac{{ - b}}{a} = m\\{x_1}.{x_2} = \dfrac{c}{a} = m - 2\end{array} \right.\) (1)

Do hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\) là độ dài hai cạnh góc vuông nên ta có \({x_1},{x_2} > 0\), suy ra:

\(\left\{ \begin{array}{l}m > 0\\m - 2 > 0\end{array} \right. \Rightarrow m > 2\)

Vì \({x_1},{x_2}\) là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông có độ dài đường cao ứng với cạnh huyền bằng \(\dfrac{{\sqrt 7 }}{7}\) nên áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có:

\(\begin{array}{l}\dfrac{1}{{{x_1}^2}} + \dfrac{1}{{{x_2}^2}} = \dfrac{1}{{{{\left( {\dfrac{{\sqrt 7 }}{7}} \right)}^2}}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{{x_2}^2 + {x_1}^2}}{{{x_1}^2.{x_2}^2}} = 7\\ \Leftrightarrow {x_2}^2 + {x_1}^2 = 7{x_1}^2.{x_2}^2\\ \Leftrightarrow {\left( {{x_2} + {x_1}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} - 7{\left( {{x_1}.{x_2}} \right)^2} = 0\,(2)\end{array}\)

Thay (1) vào (2), ta được:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,{\left( m \right)^2} - 2\left( {m - 2} \right) - 7{\left( {m - 2} \right)^2} = 0\\ \Leftrightarrow {m^2} - 2m + 4 - 7\left( {{m^2} - 4m + 4} \right) = 0\\ \Leftrightarrow {m^2} - 2m + 4 - 7{m^2} + 28m - 28 = 0\\ \Leftrightarrow - 6{m^2} + 26m - 24 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 3(TM)\\m = \dfrac{4}{3}(KTM)\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy với \(m = 3\) thì \({x_1},{x_2}\) là độ dài hai cạnh góc vuông của tam giác vuông có độ dài đường cao ứng với cạnh huyền bằng \(\dfrac{{\sqrt 7 }}{7}\).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link