Cho tứ giác \(ABCD\) nội tiếp đường tròn tâm \(O\) có \(AD\) là đường kính, \(BC\) không song song
Cho tứ giác \(ABCD\) nội tiếp đường tròn tâm \(O\) có \(AD\) là đường kính, \(BC\) không song song với \(AD\). Gọi \(E\) là giao điềm của \(AC\) và \(BD\). Từ \(E\) kẻ \(EF\) vuông góc với \(AD\) (\(F\) thuộc \(AD\)).
a) Chứng minh tứ giác \(ABEF\) nội tiếp.
b) Chứng minh \(CA\) là tia phân giác của góc \(BCF\).
c) Gọi \(M\) là giao điểm của \(AB\) và \(DC,N\) là giao diểm của \(CB\) và \(DA\).
Chứng minh \(MB \cdot MA + NB \cdot NC = M{N^2}\).
Quảng cáo
Vận dụng các tính chất hình học để chứng minh.
a) Ta có \(\angle ABD = \angle ABE = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
\(\angle AFE = {90^0}\left( {EF \bot AD} \right) \Rightarrow \angle ABE + \angle AFE = {90^0} + {90^0} = {180^0}\)
Xét tứ giác ABEF có \(\angle ABE + \angle AFE = {180^0}\).
Mà hai góc này ở vị trí đối nhau nên tứ giác ABEF nội tiếp (dhnb).
b) Ta có \(\angle DCE = {90^0}\)(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
\( \Rightarrow \angle DCE + \angle DFE = {90^0} + {90^0} = {180^0}\)
Mà hai góc này ở vị trí đối nhau nên tứ giác CDFE nội tiếp
\( \Rightarrow \angle ECF = \angle EDF\) (góc nội tiếp cùng chắn cung EF)
Mà \(\angle EDF = \angle BDA = \angle BCA\) (góc nội tiếp cùng chắn cung AB)
\( \Rightarrow \angle BCA = \angle ECF \Rightarrow CA\) là phân giác của \(\angle BCF\)
c) Gọi \(M\) là giao điểm của \(AB\) và \(DC,N\) là giao diểm của \(CB\) và \(DA\).
Chứng minh \(MB \cdot MA + NB \cdot NC = M{N^2}\).
Xét \(\Delta MAD\) có BD, AC là hai đường cao cắt nhau tại E nên E là trực tâm của \(\Delta MAD\)
\( \Rightarrow ME \bot AD \Rightarrow M,E,F\) thẳng hàng
Kẻ \(EH \bot MN\) tại H
\( \Rightarrow \angle MHE = \angle MCE = \angle MBE = {90^0} \Rightarrow M,H,B,E,C\) cùng thuộc đường tròn đường kính ME.
\(\angle NHB = \angle NCM\) (góc ngoài của đỉnh đối diện tứ giác nội tiếp)
Kết hợp \(\angle MNC\,\,chung \Rightarrow \Delta NBH\)~ \(\Delta NMC\left( {g.g} \right)\)
\( \Rightarrow \dfrac{{NB}}{{NM}} = \dfrac{{NH}}{{NC}} \Rightarrow NB.NC = NH.NM\)
Tương tự ta có NHEF nội tiếp \( \Rightarrow \Delta MHE\)~ \(\Delta MFN\left( {g.g} \right) \Rightarrow ME.MF = MH.MN\)
Lại có \(\Delta MBE\)~ \(\Delta MFA\left( {g.g} \right) \Rightarrow MB.MA = ME.MF\)
\( \Rightarrow MB.MA = MH.MN\)
\( \Rightarrow MB.MA + NB.NC = MH.MN + NH.NM = MN\left( {MH + HN} \right) = MN.MN = M{N^2}\) (đpcm)
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
