Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho \(A\left( { - 3;0;0} \right),\,B\left( {0;0;3}

Câu hỏi số 725428:

Vận dụng cao

-3 0 18 3

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho \(A\left( { - 3;0;0} \right),\,B\left( {0;0;3} \right),C\left( {0; - 3;0} \right)\). Điểm \(M\left( {a;b;c} \right)\) nằm trên mặt phẳng \(Oxy\) sao cho \(M{A^2} + M{B^2} - M{C^2}\) nhỏ nhất. Khi đó

\(a=\)

\(c=\)

\({a^2} + {b^2} - {c^2}=\)

Đáp án đúng là: -3; 0; 18

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:725428

Phương pháp giải

+) Xác định điểm \(I\) thỏa mãn \(\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} - \overrightarrow {IC} = \overrightarrow 0 \)

+) Khi đó, \(M{A^2} + M{B^2} - M{C^2} = {\overrightarrow {MA} ^2} + {\overrightarrow {MB} ^2} - {\overrightarrow {MC} ^2} = {\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IB} } \right)^2} - {\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IC} } \right)^2}\)

\( = M{I^2} + 2\overrightarrow {MI} .\left( {\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} - \overrightarrow {IC} } \right) + I{A^2} + I{B^2} - I{C^2} = M{I^2} + I{A^2} + I{B^2} - I{C^2}\)

\(M{A^2} + M{B^2} - M{C^2}\) nhỏ nhất khi và chỉ khi \(MI\) ngắn nhất\( \Leftrightarrow M\) là hình chiếu vuông góc của I lên \(\left( {Oxy} \right)\).

Giải chi tiết

\(A\left( { - 3;0;0} \right),\,B\left( {0;0;3} \right),C\left( {0; - 3;0} \right)\)

+) Xác định điểm \(I\) thỏa mãn \(\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} - \overrightarrow {IC} = \overrightarrow 0 \):

\(\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} - \overrightarrow {IC} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {IA} = \overrightarrow {BC} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 3 - {x_I} = 0 - 0\\0 - {y_I} = - 3 - 0\\0 - {z_I} = 0 - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_I} = - 3\\{y_I} = 3\\{z_I} = 3\end{array} \right. \Rightarrow I\left( { - 3;3;3} \right)\)

\( = M{I^2} + 2\overrightarrow {MI} .\left( {\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} - \overrightarrow {IC} } \right) + I{A^2} + I{B^2} - I{C^2} = M{I^2} + I{A^2} + I{B^2} - I{C^2}\)

\(M{A^2} + M{B^2} - M{C^2}\) nhỏ nhất khi và chỉ khi \(MI\) ngắn nhất\( \Leftrightarrow M\) là hình chiếu vuông góc của I lên \(\left( {Oxy} \right)\).

\( \Leftrightarrow M\left( { - 3;3;0} \right)\)\( \Rightarrow {a^2} + {b^2} - {c^2} = {\left( { - 3} \right)^2} + {3^2} - 0 = 18\).

Đáp án cần chọn là: -3; 0; 18

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.