Cho các số thực \(x,y,z\) thỏa mãn \(x + y + z = 9\) và \({x^2} + {y^2} + {z^2} = 27\). Tính giá trị

Câu hỏi số 731865:

Vận dụng cao

Cho các số thực \(x,y,z\) thỏa mãn \(x + y + z = 9\) và \({x^2} + {y^2} + {z^2} = 27\). Tính giá trị biểu thức \(P = {(x - 2)^{22}} + {(y - 3)^{23}} + {(z - 4)^{24}}\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:731865

Phương pháp giải

Từ đề bài ta có \({(x + y + z)^2} = 3\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right)\). Phân tích và tìm \(x;y;z\).

Giải chi tiết

Ta có: \({(x + y + z)^2} = 3\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right)\)

\(\; \Rightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} + 2xy + 2yz + 2xz = 3{x^2} + 3{y^2} + 3{z^2}\)

\(\; \Rightarrow 2{x^2} + 2{y^2} + 2{z^2} - 2xy - 2yz - 2xz = 0\)

\(\; \Rightarrow {(x - y)^2} + {(y - z)^2} + {(x - z)^2} = 0\) (1)

Do \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{{(x - y)}^2} \ge 0}\\{{{(y - z)}^2} \ge 0}\\{{{(x - z)}^2} \ge 0}\end{array}} \right.\) nên từ (1) ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{{(x - y)}^2} = 0}\\{{{(y - z)}^2} = 0}\\{{{(x - z)}^2} = 0}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = y}\\{y = z}\\{z = x}\end{array}} \right.} \right.\) hay \(x = y = z\)
Mà \(x + y + z = 9\) nên \(x = y = z = 3\)
Thay \(x;y;z\) vào biểu thức P ta được: \(P = {(3 - 2)^{22}} + {(3 - 3)^{23}} + {(3 - 4)^{24}} = 1 + 0 + 1 = 2\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều). Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.