Với \(a,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} b,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} c\) là độ dài ba cạnh của một tam giác.

Câu hỏi số 737358:

Vận dụng

Với \(a,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} b,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} c\) là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng phương trình \(x\left( {{c^2}\left( {x - 1} \right) + {a^2} - {b^2}} \right) + {b^2} = 0\) vô nghiệm với \(x \in \mathbb{R}\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:737358

Phương pháp giải

+ Biến đổi phương trình ban đầu về dạng: \(a{x^2} + bx + c = 0{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {a \ne 0} \right)\)

+ Phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {a \ne 0} \right)\) vô nghiệm khi \(\Delta < 0\)

+ Vận dụng bất đẳng thức tam giác để chứng minh được \(\Delta < 0\)

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{*{20}{l}}{x\left[ {{c^2}(x - 1) + {a^2} - {b^2}} \right] + {b^2} = 0}\\{{c^2}{x^2} - {c^2}x + ({a^2} - {b^2})x + {b^2} = 0}\\{{c^2}{x^2} + ({a^2} - {b^2} - {c^2})x + {b^2} = 0}\end{array}\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}\;\Delta = {({a^2} - {b^2} - {c^2})^2} - 4{b^2}{c^2}\\\;\,\,\,\,\, = {({a^2} - {b^2} - {c^2})^2} - {(2bc)^2}\\\;\,\,\,\,\, = ({a^2} - {b^2} - {c^2} - 2bc)({a^2} - {b^2} - {c^2} + 2bc)\\\;\,\,\,\,\, = \left[ {{a^2} - {{(b + c)}^2}} \right] \cdot \left[ {{a^2} - {{(b - c)}^2}} \right]\\\,\,\,\,\,\; = \left( {a + b + c} \right)\left( {a - b - c} \right)\left( {a + b - c} \right)\left( {a - b + c} \right)\end{array}\)

Do \(a,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} b,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} c\) là độ dài ba cạnh của một tam giác nên áp dụng BĐT tam giác ta có:

\(a,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} b,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} c > 0\) suy ra \(a + b + c > 0\)

\(a + b > c\) suy ra \(a + b - c > 0\)

\(a + c > b\) suy ra \(a - b + c > 0\)

\(b + c > a\) suy ra \(a - b - c < 0\)

Do đó \(\Delta < 0\) hay phương trình đã cho vô nghiệm.

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link