Cho khai triển đa thức \(P\left( x \right) = {\left( {\dfrac{1}{5} + \dfrac{2}{5}x} \right)^{14}} = {a_0} + {a_1}x

Câu hỏi số 744333:

Vận dụng

Cho khai triển đa thức \(P\left( x \right) = {\left( {\dfrac{1}{5} + \dfrac{2}{5}x} \right)^{14}} = {a_0} + {a_1}x + ... + {a_{13}}{x^{13}} + {a_{14}}{x^{14}}.\) Tổng các giá trị của \(k\) thoả mãn hệ số \({a_k}\left( {0 \le k \le 14} \right)\) là hệ số lớn nhất trong khai triển trên bằng ________.

Đáp án:

Đáp án đúng là: 19

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:744333

Giải chi tiết

Khai triển nhị thức Newtơn của \({\left( {\dfrac{1}{5} + \dfrac{2}{5}x} \right)^{14}}\), ta có:

\({\left( {\dfrac{1}{5} + \dfrac{2}{5}x} \right)^{14}} = \sum\limits_{k = 0}^{14} {C_{14}^k{{\left( {\dfrac{1}{5}} \right)}^{14 - k}}{{\left( {\dfrac{2}{5}x} \right)}^k}} = \sum\limits_{k = 0}^{14} {C_{14}^k} {\left( {\dfrac{1}{5}} \right)^{14 - k}}{\left( {\dfrac{2}{5}} \right)^k}{x^k}.\)

Suy ra: \({a_k} = \sum\limits_{k = 0}^{14} {C_{14}^k} {\left( {\dfrac{1}{5}} \right)^{14 - k}}{\left( {\dfrac{2}{5}} \right)^k}.\)

Giả sử \({a_k}\) là hệ số lớn nhất, khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}{a_k} \ge {a_{k + 1}}\\{a_k} \ge {a_{k - 1}}\end{array} \right..\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}C_{14}^k{\left( {\dfrac{1}{5}} \right)^{14 - k}}.{\left( {\dfrac{2}{5}} \right)^k} \ge C_{14}^{k + 1}{\left( {\dfrac{1}{5}} \right)^{14 - \left( {k + 1} \right)}}.{\left( {\dfrac{2}{5}} \right)^{k + 1}}\\C_{14}^k{\left( {\dfrac{1}{5}} \right)^{14 - k}}.{\left( {\dfrac{2}{5}} \right)^k} \ge C_{14}^{k - 1}{\left( {\dfrac{1}{5}} \right)^{14 - \left( {k - 1} \right)}}.{\left( {\dfrac{2}{5}} \right)^{k - 1}}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{{14 - k}} \ge \dfrac{2}{{k + 1}}\\\dfrac{2}{k} \ge \dfrac{1}{{14 - k + 1}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}k \ge 9\\k \le 10\end{array} \right. \Leftrightarrow 9 \le k \le 10\end{array}\)

Mà \(k \in \mathbb{N}\) nên \(k \in \left\{ {9;10} \right\}.\)

Vậy tổng các giá trị của \(k\) thoả mãn là \(19.\)

Đáp án cần điền là: 19

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.