Dãy Fibonacci \(\left( {{F_n}} \right)\) mang tên chính nhà toán hoc Pisano

Câu hỏi số 744663:

Vận dụng

Dãy Fibonacci \(\left( {{F_n}} \right)\) mang tên chính nhà toán hoc Pisano Fibonacci. Dãy cho bởi hệ thức truy hồi đơn giản \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{F_1} = {F_2} = 1}\\{{F_{n + 2}} = {F_{n + 1}} + {F_n}\quad \forall n \ge 1}\end{array}} \right.\). Dùng phương pháp xác định số hạng tổng quát của dãy số bằng phương trình đặc trưng thấy công thức tổng quát của dãy \(\left( {{F_n}} \right)\) là: \({F_n} = \dfrac{1}{{\sqrt 5 }}\left[ {{{\left( {\dfrac{{1 + \sqrt 5 }}{2}} \right)}^n} - {{\left( {\dfrac{{1 - \sqrt 5 }}{2}} \right)}^n}} \right]\). Khi đó ứng dụng dãy này để giải quyết bài toán sau:

Cho phép sử dụng hai loại gạch có kích thước 1×1 và 1×2. Khi đó có bao nhiêu cách khác nhau để dùng hai loại gạch này xếp thành một hình chữ nhật có kích thước 1×20?

Đáp án:

Đáp án đúng là: 10946

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:744663

Phương pháp giải

a) Viết 10 số hạng đầu của dãy và tính tổng

b) Đưa bài toán về dãy Fib0nacci

Giải chi tiết

Gọi X_n là số cách xếp hình chữ nhật có kích thước \(1 \times n\) bằng cách dùng hai loại gạch có kích thước \(1 \times 1\) và \(1 \times 2\). Chúng ta sẽ tìm giá trị của \({X_1},{X_2},{X_3}\), v.v...

- Với \(n = 1\). Có bao nhiêu cách xếp hình chữ nhật có kích thước \(1 \times 1\) ? Rõ ràng là có một cách duy nhất. Do đó \({X_1} = 1\).

- Với \(n = 2\). Có bao nhiêu cách xếp hình chữ nhật có kích thước \(1 \times 2\) ? Có hai cách, cách thứ nhất là dùng hai viên gạch loại \(1 \times 1\), cách thứ hai là dùng đúng một viên gạch loại \(1 \times 2\). Như vậy \({X_2} = 2\).

- Với \(n = 3\). Chúng ta có ba cách như sau, do đó \({X_3} = 3\).

- Với \(n = 4\). Chúng ta có năm cách nên \({X_4} = 5\).

Bây giờ chúng ta xem xét trường hợp tổng quát, đó là xếp hình chữ nhật \(1 \times n\). Như hình dưới đây, để ý ô vuông đầu tiên. Chúng ta có thể đùng loại gạch \(1 \times 1\) để lấp cái ô vuông đầu tiên, hoặc, chúng ta có thể dùng loại gạch \(1 \times 2\) để lấp nó.

Nếu chúng ta dùng loại gạch \(1 \times 1\) để lấp cái ô vuông đầu tiên thì chúng ta còn \(n - 1\) ô vuông tiếp theo cần được lấp. Có \({X_{n - 1}}\)cách để lấp \(n - 1\) cái ô vuông tiếp theo

Còn nếu chúng ta dùng loại gạch \(1 \times 2\) để lấp hai cái ô vuông đầu tiên thì chúng ta còn \(n - 2\) ô vuông. Có \({X_{n - 2}}\) cách để lấp \(n - 2\) ô vuông

Như vậy, tổng cộng chúng ta sẽ có \({X_{n - 1}} + {X_{n - 2}}\) cách.

Vậy thì \({X_n} = {X_{n - 1}} + {X_{n - 2}}\) với \({X_1} = 1,{X_2} = 2\)

Như vậy \({X_n} = {F_{n + 1}}\) - đó chính là số Fibonacci!

Vậy có \({F_{21}} = 10946\) cách xếp.

Đáp án cần điền là: 10946

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.