Tel: 024.7300.7989 - Phone: 1800.6947 (Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)

Thi thử toàn quốc TN THPT & ĐGNL Sư phạm HCM
↪ TN THPT - Trạm 6 ↪ ĐGNL Sư phạm HCM (H-SCA) - Trạm 2
Giỏ hàng của tôi
Trang chủ
Luyện thi đại học môn toán

Biết rằng, với mỗi số nguyên dương \(n\), tồn tại duy nhất cặp số nguyên \(\left(

Câu hỏi số 745130:
Vận dụng cao

Biết rằng, với mỗi số nguyên dương \(n\), tồn tại duy nhất cặp số nguyên \(\left( {{a_n};{b_n}} \right)\) thỏa mãn đẳng thức \({(2 - \sqrt 3 )^n} = {a_n} - {b_n}\sqrt 3 \). Mỗi phát biểu sau là đúng hay sai?

Đúng Sai
a) \({a_{n + 1}} = 2{a_n} + 3{b_n}\)
b) Có đúng 1012 số nguyên dương \(n\) không vượt quá 2024 thỏa mãn: \(a_{n + 1}^2 - a_n^2 = 3\left( {b_{n + 1}^2 - b_n^2} \right)\).
c) Tồn tại số nguyên dương \(n\) không vượt quá 2024 sao cho \(a_n^2 - 3b_n^2\) là một hợp số.

Đáp án đúng là: Đ; S; S

Quảng cáo

Xem lời giải
Câu hỏi:745130
Giải chi tiết

a) Đúng.

Giả sử \({(2 - \sqrt 3 )^n} = {a_n} - {b_n}\sqrt 3 \). Khi nhân thêm \((2 - \sqrt 3 )\), ta được:

\({(2 - \sqrt 3 )^{n + 1}} = \left( {{a_n} - {b_n}\sqrt 3 } \right)(2 - \sqrt 3 )\)

Khai triển: \({(2 - \sqrt 3 )^{n + 1}} = 2{a_n} - {a_n}\sqrt 3  - 2{b_n}\sqrt 3  + 3{b_n}{\rm{ }} = \left( {2{a_n} + 3{b_n}} \right) - \left( {{a_n} + 2{b_n}} \right)\sqrt 3 \)

Vậy:\(\left\{ \begin{array}{l}{a_{n + 1}} = 2{a_n} + 3{b_n}\\{b_{n + 1}} = {a_n} + 2{b_n}\end{array} \right.\)

b) Sai.

\(\begin{array}{l}a_{n + 1}^2 - a_n^2 = 3\left( {b_{n + 1}^2 - b_n^2} \right)\\ \Leftrightarrow {\left( {2{a_n} + 3{b_n}} \right)^2} - a_n^2 = 3\left( {{{\left( {{a_n} + 2{b_n}} \right)}^2} - b_n^2} \right)\end{array}\)

\( \Leftrightarrow 3a_n^2 + 12{a_n}{b_n} + 9b_n^2 = 3\left( {a_n^2 + 4{a_n}{b_n} + 3b_n^2} \right)\) (luôn đúng)

Mà n nguyên dương nên \(n \in \left\{ {1,2,...,2024} \right\}\) số n thỏa mãn.

c) Sai. Theo b ta có \(a_{n + 1}^2 - a_n^2 = 3\left( {b_{n + 1}^2 - b_n^2} \right) \Leftrightarrow a_{n + 1}^2 - 3b_{n + 1}^2 = a_n^2 - 3b_n^2 = .... = a_1^2 - 3b_1^2 = 1\)

Mà 1 không là hợp số nên không tồn tại số nguyên dương n thỏa mãn

Đáp án cần chọn là: Đ; S; S

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>>  2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.

Hỗ trợ - Hướng dẫn

  • 024.7300.7989
  • 1800.6947 free

(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com

Đăng ký nhận tư vấn