Cho \(a,b,c\) là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện \(abc \ge 1\). Tìm giá trị lớn nhất của

Câu hỏi số 745584:

Vận dụng cao

Cho \(a,b,c\) là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện \(abc \ge 1\). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = \dfrac{1}{{{a^2} + 1 + bc}} + \dfrac{1}{{{b^2} + 1 + ac}} + \dfrac{1}{{ab({c^3} + 1) + 1}}\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:745584

Giải chi tiết

Ta có: \(ab\left( {{c^3} + 1} \right) + 1 = ab{c^3} + ab + 1 \ge {c^2} + 1 + ab \ge 2c + ab\) (Áp dụng \(abc \ge 1\) và BDT AM-GM cho 2 số \(\left. {{c^2},1} \right)\)

\( \Rightarrow \dfrac{1}{{ab\left( {{c^3} + 1} \right) + 1}} \le \dfrac{1}{{2c + ab}} = \dfrac{c}{{2{c^2} + abc}} \le \dfrac{c}{{2{c^2} + 1}}\,\,({\rm{Do\;}}abc \ge 1)\)

Ta có: \({a^2} + 1 + bc \ge 2a + bc\) (Áp dụng BĐT AM-GM cho 2 số \({a^2},1\))

\( \Rightarrow \dfrac{1}{{{a^2} + 1 + bc}} \le \dfrac{1}{{2a + bc}} = \dfrac{a}{{2{a^2} + abc}} \le \dfrac{a}{{2{a^2} + 1}}\)

Tương tự: \(\dfrac{1}{{{b^2} + 1 + ac}} \le \dfrac{b}{{2{b^2} + 1}}\)
Do đó: \(P \le \dfrac{a}{{2{a^2} + 1}} + \dfrac{b}{{2{b^2} + 1}} + \dfrac{c}{{2{c^2} + 1}}\)
Ta có: \(2{a^2} + 1 = {a^2} + {a^2} + 1 \ge a + 2a\) (Áp dụng BĐT AM-GM cho 2 số \({a^2},1\))

\( \Rightarrow \dfrac{a}{{2{a^2} + 1}} \le \dfrac{a}{{{a^2} + 2a}} = \dfrac{1}{{a + 2}}\)

Tương tự: \(\dfrac{b}{{2{b^2} + 1}} \le \dfrac{1}{{b + 2}},\dfrac{c}{{2{c^2} + 1}} \le \dfrac{1}{{c + 2}}\)

\( \Rightarrow P \le \dfrac{1}{{a + 2}} + \dfrac{1}{{b + 2}} + \dfrac{1}{{c + 2}}\)

Ta chứng minh \(\dfrac{1}{{a + 2}} + \dfrac{1}{{b + 2}} + \dfrac{1}{{c + 2}} \le 1\left( {{\rm{**}}} \right)\)
Thật vậy \(\left( {{\rm{**}}} \right) \Leftrightarrow ab + bc + ac + abc \ge 4\left( {{\rm{***}}} \right)\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta được: \(a + b + c \ge 3\sqrt[3]{{abc}} \ge 3\) và \(abc \ge 1\) (giả thiết)
\( \Rightarrow \left( {{\rm{***}}} \right)\) đúng.

\( \Rightarrow P \le 1\)

Dấu “=” xảy ra khi: \(a = b = c = 1\)
Vậy GTLN của \(P\) là 1 khi \(a = b = c = 1\)

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link