Cho tam giác nhọn \(ABC\) nội tiếp đường tròn \((O)\). Các đường cao \(AD,BE,CF\) của tam giác

Câu hỏi số 745583:

Vận dụng cao

Cho tam giác nhọn \(ABC\) nội tiếp đường tròn \((O)\). Các đường cao \(AD,BE,CF\) của tam giác \(ABC\) cắt nhau tại \(H\).

1) Chứng minh \(DA\) là tia phân giác của góc \(EDF\).

2) Chứng minh \(\dfrac{{HD}}{{AD}} + \dfrac{{HE}}{{BE}} + \dfrac{{HF}}{{CF}} = 1\).

3) Gọi \(M\) là giao điểm của tia \(EF\) với đường tròn \((O)\). Gọi \(P,Q\) lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(BMF\) và tam giác \(CME\). Chứng minh \(AM \bot PQ\).

4) Tìm mối liên hệ giữa các cạnh của tam giác \(ABC\) đề biểu thức \(\dfrac{{{{(AB + BC + CA)}^2}}}{{A{D^2} + B{E^2} + C{F^2}}}\) đạt giá trị nhỏ nhất.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:745583

Giải chi tiết

1) Vì \(\angle BFH = \angle BDH = {90^0}\) nên \(BFHD\) nội tiếp.

Vì \(\angle HEC = \angle HDC = {90^0}\) nên \(CEHD\) nội tiếp
Ví \(\angle BFC = \angle BEC = {90^0}\) nên \(BFEC\) nội tiếp
Do đó, ta có: \(\angle FHD = \angle FBH = \angle FBE = \angle FCE = \angle HCE = \angle HDE\)
Vậy \(DH\) là phân giác của góc \(FDE\)
2) Kí hiệu \({S_{ABC}}\) là diện tích \(\Delta ABC\), khi đó ta có:

\(\begin{array}{l}\dfrac{{HD}}{{AD}} + \dfrac{{HE}}{{BE}} + \dfrac{{HF}}{{CF}}\\ = \dfrac{{\dfrac{1}{2}HD \cdot BC}}{{\dfrac{1}{2}AD \cdot BC}} + \dfrac{{\dfrac{1}{2}HE \cdot AC}}{{\dfrac{1}{2}BE \cdot AC}} + \dfrac{{\dfrac{1}{2}HF \cdot AB}}{{\dfrac{1}{2}CF \cdot AB}}\\ = \dfrac{{{S_{BHC}}}}{{{S_{ABC}}}} + \dfrac{{{S_{CHA}}}}{{{S_{ABC}}}} + \dfrac{{{S_{AHB}}}}{{{S_{ABC}}}} = \dfrac{{{S_{ABC}}}}{{{S_{ABC}}}}\end{array}\)

\(\; \Rightarrow \dfrac{{HD}}{{AD}} + \dfrac{{HE}}{{BE}} + \dfrac{{HF}}{{CF}} = 1\)

3) Gọi giao điểm thứ hai của \(EF\) với \(\left( O \right)\) là \(S\)
Kẻ đường kính \(AV\) của \(\left( O \right)\). Gọi \(T\) là giao \(AV\) với \(EF\)
Ta có \(\angle AFE = \angle ACB\) (do \(BFEC\) nội tiếp)
\(\angle FAT = \angle BAV = \angle BCV\)
Do đó \(\angle AFE + \angle FAT = \angle ACB + \angle BCV = \angle ACV = {90^0}\)
Vậy \(AO \bot EF\).

Do đó \(cung\,AM = cung\,AN\)
Suy ra \(\angle AMF = \angle MBF = \angle MCE\)
Vậy nên:

\(\begin{array}{l}\angle AMP = \angle AMF + \angle FMP\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \angle AMF + \dfrac{{{{180}^0} - \angle MPF}}{2}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \angle MBF + {90^0} - \angle MBF = {90^0}\end{array}\)

Suy ra \(AM \bot MP\)
Ta có:

\(\begin{array}{l}\angle AMQ = \angle AMF + \angle EMQ\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \angle MCE + \dfrac{{{{180}^0} - \angle MQE}}{2}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \angle MCE + {90^0} - \angle MCE = {90^0}\end{array}\)
Suy ra \(AM \bot MQ\)
Vậy ta có \(M,P,Q\) thẳng hàng và \(PQ \bot AM\)

Đặt \(AB = c,AC = b,BC = a\)
Từ \(B\) kẻ tia \(Bx\) vuông góc \(BE\).

Lấy \(N\) đối xứng \(A\) qua \(Bx\).

Gọi \(M\) là trung điểm \(AN\)

Ta có: \(\Delta ABN\) cân tại \(B\) nên \(BA = BN\)
Ta có: \(AEBM\) là hình chữ nhên nên \(\Delta ANC\) vuông tại \(A\)

\( \Rightarrow A{N^2} + A{C^2} = N{C^2}\) (định lí Pytago)

Mà \(NC \le NB + BC\) (BĐT trong \(\Delta BCN\))

\( \Rightarrow A{N^2} + A{C^2} \le {(BN + BC)^2}\)

\( \Leftrightarrow 4B{E^2} + A{C^2} \le {(BA + BC)^2}\)

\(\; \Leftrightarrow 4B{E^2} \le {(a + c)^2} - {b^2}\)

Tương tự: \(4C{F^2} \le {(a + b)^2} - {c^2},4A{D^2} \le {(b + c)^2} - {a^2}\)
Do đó: \(4\left( {B{E^2} + C{F^2} + A{D^2}} \right) \le {(a + b)^2} + {(b + c)^2} + {(a + c)^2} - {a^2} - {b^2} - {c^2} = {(a + b + c)^2}\)

\( \Rightarrow \dfrac{{{{(a + b + c)}^2}}}{{B{E^2} + C{F^2} + A{D^2}}} \ge 4\)

Dấu “=” xảy ra khi: \(a = b,b = c,a = c\) hay \(a = b = c\)
\( \Rightarrow \Delta ABC\) đều

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link