Một nhà thiết kế cảnh quan đang lập kế hoạch xây dựng một khu vực công

Câu hỏi số 748903:

Vận dụng

Một nhà thiết kế cảnh quan đang lập kế hoạch xây dựng một khu vực công viên với ba cây cột nghệ thuật: Cột \(A(1;0;2)\) đại diện cho biểu tượng của nước. Cột \(B( - 1;2;2)\) đại diện cho biểu tượng của đất. Cột \(C(3;1;1)\) đại diện cho biểu tượng của gió. Nhà thiết kế muốn đặt một đài phun nước \(M(a;b;c)\) trên mặt phẳng vuông góc với mặt đất (ứng với Oxz) sao cho sự hài hòa giữa ba cột và đài phun nước được tối ưu. Sự hài hòa này được mô tả bởi công thức: \(S = 2\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MB} .\overrightarrow {MC} + 3\overrightarrow {MC} .\overrightarrow {MA} \). Nhà thiết kế cần tìm vị trí M sao cho S đạt giá trị nhỏ nhất. Nếu \(M\left( {a,b,c} \right)\) thì \(T = 6a - 5b + 3c\) bằng?

Trả lời:

Đáp án đúng là:

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:748903

Phương pháp giải

Do \(M(a;b;c)\) thuộc mặt phẳng \((Oxz)\) nên \(b = 0 \Rightarrow M(a;0;c)\).

Tìm các vecto \(\overrightarrow {MA} ,\overrightarrow {MB} ,\overrightarrow {MC} \) theo a, c và tìm GTNN của S.

Giải chi tiết

Do \(M(a;b;c)\) thuộc mặt phẳng \((Oxz)\) nên \(b = 0 \Rightarrow M(a;0;c)\).

Ta có \(\overrightarrow {MA} = (1 - a;0;2 - c),\overrightarrow {MB} = ( - 1 - a;2;2 - c),\overrightarrow {MC} = (3 - a;1;1 - c)\).

\(\begin{array}{l}S = 2\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MB} .\overrightarrow {MC} + 3\overrightarrow {MC} .\overrightarrow {MA} \\ = 2\left( {{a^2} - 1 + 4 - 4c + {c^2}} \right) + \left( {{a^2} - 2a - 3 + 2 + {c^2} - 3c + 2} \right) + 3\left( {{a^2} - 4a + 3 + {c^2} - 3c + 2} \right)\\ = 6{a^2} + 6{c^2} - 14a - 20c + 22 = 6{\left( {a - \dfrac{7}{6}} \right)^2} + 6{\left( {b - \dfrac{5}{3}} \right)^2} - \dfrac{{17}}{6} \ge - \dfrac{{17}}{6}\end{array}\)

Suy ra \(S\) đạt giá trị nhỏ nhất \( - \dfrac{{17}}{6}\) khi và chỉ khi \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = \dfrac{7}{6}}\\{c = \dfrac{5}{3}}\end{array}} \right.\).

Vậy \(T = 6a - 5b + 3c = 6 \cdot \dfrac{7}{6} - 5 \cdot 0 + 3 \cdot \dfrac{5}{3} = 12\).

Đáp án: 12

Đáp án cần điền là: 12

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.