Cho dãy số \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_1} = 1}\\{{u_{n + 1}} = \sqrt {3u_n^2 + 2} }\end{array}} \right.\)

Câu hỏi số 751254:

Vận dụng

Cho dãy số \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_1} = 1}\\{{u_{n + 1}} = \sqrt {3u_n^2 + 2} }\end{array}} \right.\) và \(S = u_1^2 + u_2^2 + \ldots + u_{2023}^2 + 2023\). Khi đó \(S\) có bao nhiêu chữ số.

A. 966 .

B. 965 .

C. 964 .

D. 963 .

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:751254

Phương pháp giải

Đặt \({v_n} = u_n^2 + 1\). Chứng minh \({v_n}\) là một cấp số nhân.

Từ đó tìm công thức tổng quát của \(u_n^2\).

Tính \(S\) bằng cách sử dụng công thức tính tổng của cấp số nhân.

Sử dụng ứng dụng của logarit để tìm số chữ số của \(S\).

Giải chi tiết

Ta có: \({u_{n + 1}} = \sqrt {3u_n^2 + 2} \Leftrightarrow u_{n + 1}^2 = 3u_n^2 + 2 \Leftrightarrow u_{n + 1}^2 + 1 = 3\left( {u_n^2 + 1} \right)\).

Đặt \({v_n} = u_n^2 + 1 \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{v_1} = 2.}\\{{v_{n + 1}} = 3{v_n}}\end{array}} \right.\).

Do \(\left( {{v_n}} \right)\) là cấp số nhân có \({v_1} = 2\) công bội \(q = 3\) nên \({v_n} = {2.3^{n - 1}}\).

\( \Rightarrow u_n^2 = {2.3^{n - 1}} - 1\).

Khi đó: \(S = 2.\left( {1 + {3^1} + {3^2} + \ldots + {3^{2022}}} \right) = {3^{2023}} - 1\).

Ta có: \(S + 1 = {3^{2023}}\) có \(\left[ {{\rm{log}}{3^{2023}}} \right] + 1 = 966\) (chữ số).

Do đó \(S\) có 966 hoặc 965 chữ số.

\(S\) có 965 chữ số khi \(S + 1 = {10^{965}} \Leftrightarrow {3^{2023}} = {10^{965}}\) (vô lý do \({3^{2023}}\) là số lẻ còn \({10^{965}}\) là số chẵn)

Vậy số chữ số của \(S = 966\) (chữ số).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.