Cho hình chóp đều \(S.ABCD\) có tất cả các cạnh bằng \(2a\), điểm \(M\)

Câu hỏi số 751694:

Vận dụng

Cho hình chóp đều \(S.ABCD\) có tất cả các cạnh bằng \(2a\), điểm \(M\) thuộc cạnh \(SC\) sao cho \(SM = 2MC\). Mặt phẳng \(\left( P \right)\) chứa \(AM\) và song song với \(BD\). Tính diện tích thiết diện của hình chóp \(S.ABCD\) cắt bởi (\(P\)).

\(\dfrac{{4\sqrt 3 {a^2}}}{5}\).

\(\dfrac{{4\sqrt {26} {a^2}}}{{15}}\).

\(\dfrac{{4\sqrt 3 {a^2}}}{{15}}\).

\(\dfrac{{8\sqrt {26} {a^2}}}{{15}}\).

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:751694

Phương pháp giải

Định lý Talet

Giải chi tiết

Gọi \(O = AC \cap BD,I = AM \cap SO\).

Trong (SBD) từ \(I\) kẻ đường thẳng \({\rm{\Delta }}\) song song với BD cắt \({\rm{SB}},{\rm{SD}}\) lần lượt tại \({\rm{N}},{\rm{P}}\).

Khi đó thiết diện là tứ giác ANMP.

Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{BD \bot AC}\\{BD \bot SO}\end{array} \Rightarrow BD \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow BD \bot AM} \right.\).

Mặt khác \(BD//NP \Rightarrow AM \bot NP \Rightarrow {S_{ANMP}} = \dfrac{1}{2}NP.AM\).

Lại có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{SA = SC = 2a}\\{AC = 2\sqrt 2 a}\end{array} \Rightarrow \Delta SAC} \right.\) vuông cân tại \(S\).

\( \Rightarrow AM = \sqrt {S{A^2} + S{M^2}} = \dfrac{{2\sqrt {13} }}{3}a\)

Ta có: \(NP//BD \Rightarrow \dfrac{{NP}}{{BD}} = \dfrac{{SI}}{{SO}} \Rightarrow NP = \dfrac{{SI . BD}}{{SO}}\).

Ta thấy \({\rm{A}},{\rm{I}},{\rm{M}}\) thẳng hàng nên

\(\dfrac{{SI}}{{OI}} . \dfrac{{AO}}{{AC}} . \dfrac{{MC}}{{MS}} = 1 \Leftrightarrow \dfrac{{SI}}{{OI}} . \dfrac{1}{2} . \dfrac{1}{2} = 1 \Leftrightarrow SI = 4OI \Rightarrow SI = \dfrac{4}{5}SO\)

\( \Rightarrow NP = \dfrac{4}{5}BD = \dfrac{{4\sqrt 2 a}}{5}\)

Suy ra: \({S_{ANMP}} = \dfrac{1}{2}NP.AM = \dfrac{1}{2} . \dfrac{{8\sqrt 2 a}}{5} . \dfrac{{2\sqrt {13} a}}{3} = \dfrac{{8\sqrt {26} a}}{{15}}\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.