Gọi \(S\) là phần hình phẳng màu xanh được tạo bởi hai đồ thị hàm số

Câu hỏi số 752058:

Vận dụng

Gọi \(S\) là phần hình phẳng màu xanh được tạo bởi hai đồ thị hàm số \(y = \sin x + 1\) và \(y = \cos x + 1\) như hình vẽ dưới. Biết thể tích của vật thể được tạo thành khi quay \(S\) quanh trục Ox là \(V = a\sqrt b \pi + c{\pi ^2}\,\), với \(a,b,c \in \mathbb{N}\), \(b\)là số nguyên tố. Tính giá trị của biểu thức \(P = a + b + c\). (nhập đáp án vào ô trống)

Đáp án:

Đáp án đúng là: 6

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:752058

Phương pháp giải

Ứng dụng tích phân tính thể tích khối tròn xoay.

Giải chi tiết

Xét phương trình hoành độ giao điểm giữa hai đồ thị hàm số:

\(\sin x + 1 = \cos x + 1 \Leftrightarrow \sin x - \cos x = 0 \Leftrightarrow \sqrt 2 \sin \left( {x - \dfrac{\pi }{4}} \right) = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{4} + k\pi \,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Khi đó, phần hình phẳng màu xanh được giới hạn bởi \(x = \dfrac{\pi }{4}\) và \(x = \dfrac{{5\pi }}{4}\).

Khi \(x \in \left[ {\dfrac{\pi }{4};\dfrac{{5\pi }}{4}} \right]\), ta có \(\sin x + 1 \ge \cos x + 1 \ge 0\).

Thể tích của vật thể tròn xoay khi đó bằng:

\(V = \pi \int\limits_{\dfrac{\pi }{4}}^{\dfrac{{5\pi }}{4}} {\left| {{{\left( {\sin x + 1} \right)}^2} - {{\left( {\cos x + 1} \right)}^2}} \right|dx = \,} \pi \int\limits_{\dfrac{\pi }{4}}^{\dfrac{{5\pi }}{4}} {\left( {{{\sin }^2}x - {{\cos }^2}x + 2\sin x - 2\cos x} \right)dx} \)

\(V = \pi .\int\limits_{\dfrac{\pi }{4}}^{\dfrac{{5\pi }}{4}} {\left( { - \cos 2x + 2\sin x - 2\cos x} \right)dx = } \,\pi .\left( {\dfrac{{ - \sin 2x}}{2} - 2\cos x - 2\sin x} \right)\left| \begin{array}{l}^{\dfrac{{5\pi }}{4}}\\_{\dfrac{\pi }{4}}\end{array} \right. = 4\pi \sqrt 2 \)

Khi đó, \(a = 4,\,b = 2,\,c = 0 \Rightarrow P = a + b + c = 6\).

Đáp án cần điền là: 6

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.