Cho hàm số \(f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{e^{2x}} + 1}&{{\rm{ khi }}x \ge 0}\\{4x +

Câu hỏi số 754671:

Vận dụng

Cho hàm số \(f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{e^{2x}} + 1}&{{\rm{ khi }}x \ge 0}\\{4x + 2}&{{\rm{ khi }}x < 0}\end{array}} \right.\). Giả sử F(x) là nguyên hàm của f(x) trên \(\mathbb{R}\) thoả mãn F(-2) = 5. Biết rằng \(F(1) + 3F( - 1) = a{e^2} + b\) (trong đó a, b là các số hữu tỉ). Khi đó a+b bằng

Trả lời:

Đáp án đúng là:

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:754671

Phương pháp giải

Tìm \(F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx} \) trên các khoảng xác định.

Trên mỗi khoảng tìm hằng số C tương ứng.

Để F(x) liên tục tại x = 0 thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} F(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} F(x) = F(0)\).

Suy ra hàm số F(x) tường minh. Tính F(1), F(-1).

Giải chi tiết

Ta có \(F(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\int {\left( {{e^{2x}} + 1} \right)} {\rm{d}}x = \dfrac{{{e^{2x}}}}{2} + x + {C_1}}&{{\rm{ khi }}x \ge 0}\\{\int {(4x + 2)} {\rm{d}}x = 2{x^2} + 2x + {C_2}}&{{\rm{ khi }}x < 0}\end{array}} \right.\).

Do \(F( - 2) = 5 \Leftrightarrow {C_2} = 1\).

Do \(F(x)\) liên tục tại \(x = 0\) nên \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} F(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} F(x) = F(0)\)

\( \Leftrightarrow \dfrac{1}{2} + 0 + {C_1} = {C_2} \Leftrightarrow \dfrac{1}{2} + {C_1} = 1 \Leftrightarrow {C_1} = \dfrac{1}{2}\).

Do đó \(F(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\dfrac{{{e^{2x}}}}{2} + x + \dfrac{1}{2}}&{{\rm{ khi }}x \ge 0}\\{2{x^2} + 2x + 1}&{{\rm{ khi }}x < 0}\end{array}} \right.\).

Suy ra \(F(1) + 3F( - 1) = \dfrac{1}{2}{e^2} + \dfrac{9}{2}\). Khi đó \(a = \dfrac{1}{2};b = \dfrac{9}{2}\).

Vậy \(a + b = 5\).

Đáp án cần điền là: 5

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.